高考数学一轮复习第五章 5.4

这是一份高考数学一轮复习第五章 5.4，共12页。试卷主要包含了复数的有关概念，复数的几何意义，复数的运算，eq \f＝________.等内容，欢迎下载使用。
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
概念方法微思考
1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示 不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．
2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
(3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
( √ )
题组二 教材改编
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
答案 A
解析 ∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝－1.
3．在复平面内，向量eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i，向量eq \(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i
答案 D
解析 eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数z满足(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数eq \x\t(z)等于( )
A．－eq \f(1,5)－eq \f(7,5)i B．－eq \f(1,5)＋eq \f(7,5)i
C．－eq \f(1,25)－eq \f(7,25)i D．－eq \f(1,25)＋eq \f(7,25)i
答案 D
解析 由题意可得z＝eq \f(1－i,3＋4i)＝eq \f(1－i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq \f(－1－7i,25)，
所以eq \x\t(z)＝－eq \f(1,25)＋eq \f(7,25)i，故选D.
题组三 易错自纠
5．(2020·山东模拟)已知a＋bi(a，b∈R)是eq \f(1－i,1＋i)的共轭复数，则a＋b等于( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．1
答案 D
解析 由eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1－i1－i,1＋i1－i)＝－i，
从而知a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1，
从而a＋b＝1.
6．(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq \x\t(z)在复平面内对应的点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由题意，∵z＝eq \f(2－2i,i)＝eq \f(2－2i·－i,i·－i)＝－2－2i，
∴eq \x\t(z)＝－2＋2i，则z的共轭复数eq \x\t(z)对应的点在第二象限．故选B.
7．(多选)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，下列四个结论中正确的是( )
A．αβ＝1 B.eq \f(α,β)＝－i
C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(α,β)))＝1 D．α2＋β2＝0
答案 BCD
解析 对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，
A项，αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故A不正确；
B项，eq \f(α,β)＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1－i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(－2i,2)＝－i，故B正确；
C项，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(α,β)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－i))＝1，故C正确；
D项，α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故D正确．故正确的结论为BCD.
复数的有关概念
1．(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数z＝eq \f(3＋i,1－ii)的虚部为( )
A．i B．2 C．－1 D．－i
答案 C
解析 因为eq \f(3＋i,1－ii)＝eq \f(3＋i1＋i,2i)＝eq \f(1＋2i,i)＝2－i，所以z的虚部为－1.
2．(2019·汉中模拟)已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
答案 A
解析 由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝b，,a＝－2，))
∴a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i，故选A.
3．(2020·东莞模拟)已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于( )
A．－eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 (a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i，
∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0且1－2a≠0，
得a＝－2且a≠eq \f(1,2)，即a＝－2.故选D.
4．(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z＝eq \f(1＋2i,1＋i)＋2iz，则|z|等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(5),2) C.eq \r(2) D.eq \r(5)
答案 A
解析 由题意得z＝eq \f(1＋2i,1＋i1－2i)＝eq \f(1＋2i,3－i)＝eq \f(1＋2i3＋i,3－i3＋i)＝eq \f(1＋7i,10)，
故|z|＝eq \f(1,10)eq \r(12＋72)＝eq \f(\r(2),2)，故选A.
思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．
复数的运算
命题点1 复数的乘法运算
例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( )
A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i
答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i(2＋3i)等于( )
A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
答案 D
解析 i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
命题点2 复数的除法运算
例2 (1)(2018·全国Ⅱ)eq \f(1＋2i,1－2i)等于( )
A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i B．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i
C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i D．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i
答案 D
解析 eq \f(1＋2i,1－2i)＝eq \f(1＋2i2,1－2i1＋2i)＝eq \f(1－4＋4i,1－2i2)
＝eq \f(－3＋4i,5)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i.
故选D.
(2)(2019·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z等于( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
答案 D
解析 z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(2＋2i,2)＝1＋i.
命题点3 复数的综合运算
例3 (1)(2020·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为eq \x\t(z)，则|eq \x\t(z)|等于( )
A.eq \r(2) B．3＋4i C．5 D．7
答案 C
解析 z＝eq \f(－1＋7i,1＋i)＝eq \f(－1＋7i1－i,2)＝3＋4i，
故eq \x\t(z)＝3－4i⇒|eq \x\t(z)|＝5，故选C.
(2)(2019·天津市实验中学模拟)已知z1＝1＋i，z2＝1－i(i是虚数单位)，则 eq \f(z1,z2)＋eq \f(z2,z1)＝________.
答案 0
解析 eq \f(z1,z2)＋eq \f(z2,z1)＝eq \f(1＋i,1－i)＋eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(2i,2)＋eq \f(－2i,2)＝0.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝eq \r(3)＋ai，z·eq \x\t(z)＝4，则a为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．不存在的实数
答案 A
解析 由题意得eq \x\t(z)＝eq \r(3)－ai，
故z·eq \x\t(z)＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.
(2)(2019·晋城模拟)若eq \f(5－3i,1＋2i)＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n等于( )
A.eq \f(14,5) B.eq \f(12,5) C．－eq \f(12,5) D．－eq \f(14,5)
答案 B
解析 依题意，得eq \f(5－3i,1＋2i)＝eq \f(5－3i1－2i,1＋2i1－2i)
＝eq \f(5－10i－3i－6,5)＝－eq \f(1,5)－eq \f(13,5)i，
所以m＝－eq \f(1,5)，n＝－eq \f(13,5)，所以m－n＝eq \f(12,5).故选B.
复数的几何意义
例4 (1)(2019·江西省临川第一中学模拟)已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝2－i，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为z＝eq \f(2－i,1＋i)＝eq \f(2－i1－i,2)＝eq \f(1－3i,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(3,2)i，
所以复平面上复数z对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，位于第四象限，故选D.
(2)已知集合A＝{z|(a＋bi)eq \x\t(z)＋(a－bi)z＋2＝0，a，b∈R，z∈C}，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝∅，则a，b之间的关系是( )
A．a＋b>1 B．a＋b1，即a2＋b20，,－4m>0，))解得m0，,1－a>0，))所以－1b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
答案 ④
解析 由复数的概念及性质知，①错误；②错误；
若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；
z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．
16．(2019·张家口调研)已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋z,1＋\x\t(z))))2 021＋a))＝2，求实数a的值．
解 (1)设z＝c＋di(c