高考数学一轮复习第七章 高考专题突破四

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命题点1 求线线角
例1 (2019·湖北知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 方法一 令M为AC的中点，连接MB，MA1，
由题意知△ABC是等边三角形，所以BM⊥AC，
同理，A1M⊥AC，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，
因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，
所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MA1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1,0,0)，B(0，eq \r(3)，0)，A1(0,0，eq \r(3))，C1(－2,0，eq \r(3))，
所以eq \(AC1,\s\up6(→))＝(－3,0，eq \r(3))，eq \(A1B,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，－eq \r(3))，
所以cs〈eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(A1B,\s\up6(→))〉＝eq \f(－3,2\r(3)×\r(6))＝－eq \f(\r(2),4)，
故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
方法二 如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角．连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，
设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝eq \r(3)，A1M＝eq \r(3)，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M⊂平面A1ACC1，
所以A1M⊥平面ABC，又BM⊂平面ABC，
所以A1M⊥BM，所以A1B＝eq \r(6)，
在菱形A1ACC1中，可求得AC1＝2eq \r(3)＝BD1，
同理，在菱形A1B1D1C1中，求得A1D1＝2eq \r(3)，
所以cs∠A1BD1＝eq \f(A1B2＋BD\\al(2,1)－A1D\\al(2,1),2A1B·BD1)＝eq \f(6＋12－12,2\r(6)×2\r(3))＝eq \f(\r(2),4)，
所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
思维升华 (1)求异面直线所成角的思路：
①选好基底或建立空间直角坐标系．
②求出两直线的方向向量v1，v2.
③代入公式|cs〈v1，v2〉|＝eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．
(2)两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围是θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
跟踪训练1 (2020·邵阳模拟)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq \r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 ∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq \r(3)，AB＝1，∴AA1＝eq \r(3)，
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B1(1,1，eq \r(3))，C(0,1,0)，D1(0,0，eq \r(3))，
eq \(AB1,\s\up6(→))＝(0,1，eq \r(3))，eq \(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1，eq \r(3))，
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(CD1,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))|·|\(CD1,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(4)·\r(4))＝eq \f(1,2)，
又0°