2021年山东省青岛中考数学模拟试卷

这是一份2021年山东省青岛中考数学模拟试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若|x|＝3，|y|＝4，且|x﹣y|＝y﹣x，则xy的值为（ ）
A．﹣1B．﹣12C．12D．12或﹣12
2．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）目前，第五代移动通信技术（5G）发展迅速，按照产业间的关联关系测算，2020年，5G间接拉动GDP增长超过4190亿元，4190亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.19×103B．0.4190×104C．4.19×1011D．419×109
4．（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，矩形OABC起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为C（0，2），A（1，0），将矩形OABC绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．则顶点A在旋转2021次后的坐标为（ ）
A．（3030，0）B．（2020，2020）
C．（3031，0）D．（3030，2）
6．（3分）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝2，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．60°或120°
7．（3分）将一张长方形纸左右对折，在折痕处按下图剪掉阴影部分，展开后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分，）
9．（3分）求值：
（1）（）﹣1+（）0﹣+＝ ；
（2）若4a＝5b＝m，且＝2，则m＝ ．
10．（3分）某学校校园电视台要招募小记者，测试内容为：采访写作、计算机操作、创意设计，并将测试得分按5：2：3的比例确定测试总分．已知某应聘者的三项得分分别为88、85、70，则这位应聘者的测试总分为 ．
11．（3分）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是C1和C2．点P在C1上，PC⊥x轴，垂足为点C，与C2相交于点A，PD⊥y轴，垂足为点D，与C2相交于点B，则△PAB的面积为 ．
12．（3分）对于2≤x≤5范围内的每一个值，不等式ax2+2ax+7a﹣3＞0总成立，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形．
14．（3分）如图，点P为正△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．将△PAC绕点A逆时针旋转到△P1AB，则∠APB＝ ．
三、作图题（本题共计1小题，共计4分，）
15．（4分）已知：如图，线段a，∠α．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠α，AC＝a．
四、解答题（共计74分）
16．（1）化简：（2﹣）÷
（2）解不等式组：﹣3≤＜5
17．小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次．
（1）若第一次设计的图形（图1）是半径分别为20cm和30cm的同心圆．求游戏中小红获胜的概率你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．
（2）若第二次设计的图形（图2）是两个矩形，其中大矩形的长为80cm、宽为60cm，且小矩形到矩形的边宽相等．要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少cm？
18．在一次数学活动课上，老师带领同学们区测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度，（≈1.73，≈1.41）
19．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是 ，乙的中位数是 ；
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
20．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中，路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．
求：
（1）分别写出轮船和快艇行驶路程随时间变化的函数表达式．
（2）经过多长时间，快艇和轮船相距20千米？
21．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
22．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？
（2）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？
23．有一列数：a1，a2，a3，…，an（n为大于0的自然数），且，，，⋯（1）用含n的代数式表示an＝ ；
（2）计算：
＝ ，
＝ ，
＝ ，
观察计算的结果，用文字表述出你所获得的结论；
（3）若一个数a的算术平方根是一个自然数，则称a为“完全平方数”．在a1，a2，a3，…，an这一列数中，显然a2＝16是一个完全平方数；试在a1，a2，a3，…，an这一列数中再找出2个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不需要说明理由）．
24．定义：点P是四边形ABCD内一点，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”，如，正方形的中心就是它的一个“准中心”．
（1）如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC＝∠PCB＝60°，证明点P是正四边形ABCD的一个“准中心”；
（2）填空：正方形ABCD共有 个“准中心”；
（3）已知∠BAD＝60°，AB＝AD＝6，点C是∠BAD平分线上的动点，问在四边形ABCD的对角线AC上最多存在几个“准中心”点P（自行画出示意图），并求出每个“准中心”点P对应线段AC的长（精确到个位）．
2021年山东省青岛中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．（3分）若|x|＝3，|y|＝4，且|x﹣y|＝y﹣x，则xy的值为（ ）
A．﹣1B．﹣12C．12D．12或﹣12
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出xy的值．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝4，且|x﹣y|＝y﹣x，
∴x＝﹣3，y＝4；x＝3，y＝4，
则xy＝﹣12或12，
故选：D．
2．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
3．（3分）目前，第五代移动通信技术（5G）发展迅速，按照产业间的关联关系测算，2020年，5G间接拉动GDP增长超过4190亿元，4190亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.19×103B．0.4190×104C．4.19×1011D．419×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：4190亿＝419000000000＝4.19×1011，
故选：C．
4．（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据俯视图的意义进行判断即可．
【解答】解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，
故选：A．
5．（3分）如图，矩形OABC起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为C（0，2），A（1，0），将矩形OABC绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．则顶点A在旋转2021次后的坐标为（ ）
A．（3030，0）B．（2020，2020）
C．（3031，0）D．（3030，2）
【分析】由题意，A1（1，0），A2（3，2），A3（6，1），A4（7，0），•••，4次应该循环，每个学会运动了6个长度单位，求出顶点A在旋转2021次后的横坐标，可得结论，
【解答】解：由题意，A1（1，0），A2（3，2），A3（6，1），A4（7，0），•••，
4次应该循环，每个学会运动了6个长度单位，
∵2021÷4＝，
∴顶点A在旋转2021次后，落在x轴上，
∴顶点A在旋转2021次后的横坐标为1+6×505＝3031，
∴顶点A在旋转2021次后的坐标为（3031，0），
故选：C．
6．（3分）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝2，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．60°或120°
【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．
【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，
∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC＝2，
∴BD＝4，
∴CD＝＝2，
∴CD＝BD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠D＝60°，
∴∠A′＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠A的度数为：60°或120°．
故选：D．
7．（3分）将一张长方形纸左右对折，在折痕处按下图剪掉阴影部分，展开后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：在折痕处按下图剪掉阴影部分，展开后的图形是：
故选：B．
8．（3分）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
【解答】解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝，＜﹣1，
∴对称轴在直线x＝﹣1的左边．
∴当x＝0时，y＝k2＜1．
故选：B．
二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分，）
9．（3分）求值：
（1）（）﹣1+（）0﹣+＝ ﹣ ；
（2）若4a＝5b＝m，且＝2，则m＝ 2 ．
【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解；
（2）利用指数换对数，利用换底公式求出即可．
【解答】解：（1）原式＝+1﹣+
＝+1﹣23+0.4﹣1
＝3+1﹣8+
＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）∵4a＝5b＝m，
∴a＝lg4m，b＝lg5m，
则+＝lgm4+lgm5＝lgm20＝2，
∴m2＝20，且m＞0，
∴m＝2，
故答案为：2．
10．（3分）某学校校园电视台要招募小记者，测试内容为：采访写作、计算机操作、创意设计，并将测试得分按5：2：3的比例确定测试总分．已知某应聘者的三项得分分别为88、85、70，则这位应聘者的测试总分为 82 ．
【分析】运用加权平均数的计算公式求解．
【解答】解：5+2+3＝10
5÷10＝0.5
2÷10＝0.2
3÷10＝0.3
88×0.5+85×0.2+70×0.3
＝44+17+21
＝82（分）．
故这位应聘者的测试总分为82．
故答案为：82．
11．（3分）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是C1和C2．点P在C1上，PC⊥x轴，垂足为点C，与C2相交于点A，PD⊥y轴，垂足为点D，与C2相交于点B，则△PAB的面积为 8 ．
【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：设P的坐标（a，），
则A（a，），B（﹣3a，），
∴BP＝4a，AP＝，
△PAB的面积＝AP•BP＝××4a＝8．
故答案为8．
12．（3分）对于2≤x≤5范围内的每一个值，不等式ax2+2ax+7a﹣3＞0总成立，则a的取值范围是 a＞ ．
【分析】按照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，图象开口向上，只要x＝2时，y＞0即可；当a＜0时，抛物线对称轴为x＝﹣1，根据对称性，只要x＝5时，y＞0即可．
【解答】解：对称轴为x＝﹣＝﹣1
当a＞0时，图象开口向上，
需满足x＝2时，y＝4a+4a+7a﹣3＞0，即a＞；
当a＜0时，图象开口向下，
需满足x＝5时，y＝25a+10a+7a﹣3＞0，解得a＞，矛盾，舍去．
综上所述，a的取值范围是：a＞．
故答案是：a＞．
13．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件 AC＝BC ，使四边形BECF是正方形．
【分析】根据有一个角等于90°的菱形是正方形即可判断．
【解答】解：添加条件：AC＝BC．理由如下：
∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，
∵∠ACB＝90°，
则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°
∴菱形BECF是正方形．
故答案为AC＝BC．
14．（3分）如图，点P为正△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．将△PAC绕点A逆时针旋转到△P1AB，则∠APB＝ 150° ．
【分析】由旋转的性质可得AP1＝AP＝6，∠PAP1＝60°，可证△APP1为等边三角形，可得PP1＝AP＝AP1＝6，由勾股定理的逆定理可得∠BPP1＝90°，即可求解．
【解答】解：连接PP1，
∵将△PAC绕点A逆时针旋转到△P1AB，
∴△APC≌△AP1C，旋转角的度数为60°，
∴AP1＝AP＝6，∠PAP1＝60°，
∴△APP1为等边三角形，
∴PP1＝AP＝AP1＝6，
∵BP1＝PC＝10，BP＝8，PP1＝6，
∴PP12+BP2＝BP12，
∴△BPP1为直角三角形，且∠BPP1＝90°，
∴∠APB＝∠BPP1+∠APP1＝90°+60°＝150°，
故答案为：150°．
三、作图题（本题共计1小题，共计4分，）
15．（4分）已知：如图，线段a，∠α．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠α，AC＝a．
【分析】先作∠MAN＝α，再在AM上截取AC＝a，然后过点C作AM的垂线交AN于B，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
四、解答题（共计74分）
16．（1）化简：（2﹣）÷
（2）解不等式组：﹣3≤＜5
【分析】（1）先计算括号内的、将除法转化为乘法，再计算乘法即可得；
（2）将原不等式组转化为一般形式，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝；
（2）由题意知，
解不等式①，得：x≥﹣4，
解不等式②，得：x＜8，
所以不等式组的解集为﹣4≤x＜8．
17．小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次．
（1）若第一次设计的图形（图1）是半径分别为20cm和30cm的同心圆．求游戏中小红获胜的概率你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．
（2）若第二次设计的图形（图2）是两个矩形，其中大矩形的长为80cm、宽为60cm，且小矩形到矩形的边宽相等．要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少cm？
【分析】解决此类问题，首先审清题意，明确所求概率为哪两部分的比值；再分别计算其面积，最后相比计算出概率．
【解答】解：根据几何概率的求法：小红获胜的概率就是阴影部分面积与总面积的比值，小明获胜的概率就是阴影之外的部分面积与总面积的比值；
（1）P（小红获胜）＝＝（2分），P（小明获胜）＝（3分），∴游戏对双方不公平．（4分）
（2）根据题意可得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝2400（7分）
即x2﹣70x+600＝0，∴x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）（9分）
∴边宽x为10cm时，游戏对双方公平．（10分）
18．在一次数学活动课上，老师带领同学们区测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度，（≈1.73，≈1.41）
【分析】首先证明FG＝CG＝AB＝50米，在直角三角形△CEG求出CE即可解决问题；
【解答】解：∵∠CFE＝30°，∠CGE＝60°
∴∠FCG＝30°，
CGEDBAF
∴GC＝FG＝50米，
∴sin60°＝＝，
即 ＝，
∴CE＝25米，
∴CD＝CE+DE
＝25+1.5
＝44.75米
答：古塔的高度为44.75米．
19．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是 8 ，乙的中位数是 7.5 ；
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；
（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
【解答】解：（1）甲的平均数＝＝8，乙的中位数是7.5；
故答案为：8；7.5；
（2）；…＝，
＝，
∵，
∴乙运动员的射击成绩更稳定．
20．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中，路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．
求：
（1）分别写出轮船和快艇行驶路程随时间变化的函数表达式．
（2）经过多长时间，快艇和轮船相距20千米？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别求得轮船和快艇行驶路程随时间变化的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数关系式和图象，可以求得经过多长时间，快艇和轮船相距20千米．
【解答】解：（1）设轮船行驶路程随时间变化的函数表达式是y＝kx，
∵点（8，160）在函数y＝kx的图象上，
∴160＝8k，解得k＝20，
即轮船行驶路程随时间变化的函数表达式是y＝20x；
设快艇行驶路程随时间变化的函数表达式是y＝ax+b，
∵点（2，0），（6，160）在函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
即快艇行驶路程随时间变化的函数表达式是y＝40x﹣80；
（2）当20x＝20时，得x＝1，
令|20x﹣（40x﹣80）|＝20，
解得，x1＝3，x2＝5，
当x＝6时，轮船行驶的路程为20×6＝120，
∵160﹣120＞20，
∴令20x＝160﹣20，解得x＝7，
即当x＝7时，快艇和轮船相距20千米，
由上可得，经过1小时、3小时、5小时或7小时时，快艇和轮船相距20千米．
21．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】求证四边形AECF是平行四边形．只要求证OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．依据△AOE≌△COF即可证明OA＝OC．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
又∵OA＝OC，∠COF＝∠AOE，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
22．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？
（2）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？
【分析】（1）等量关系为：售价P×销售数量x﹣生产x只玩具熊猫的成本＝1750，把相关数值代入求解即可．
（2）设每天所获利润为W，根据题意可表示出w与x的二次函数关系，再根据二次函数最值的求法，求得最值即可．
【解答】解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R＝500+30x，
P＝170﹣2x，
∴（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，
解得 x1＝25，x2＝45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x，
∴（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，
解得 x1＝25，x2＝45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
（2）设每天所获利润为W，
由题意得，W＝（170﹣2x）x﹣（500+30x）
＝﹣2x2+140x﹣500
＝﹣2（x2﹣70x）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352﹣352）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352）+2×352﹣500
＝﹣2（x﹣35）2+1950．
当x＝35时，W有最大值1950元．
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品，最大利润为1950．
23．有一列数：a1，a2，a3，…，an（n为大于0的自然数），且，，，⋯（1）用含n的代数式表示an＝ （2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ；
（2）计算：
＝ 8 ，
＝ 16 ，
＝ 24 ，
观察计算的结果，用文字表述出你所获得的结论；
（3）若一个数a的算术平方根是一个自然数，则称a为“完全平方数”．在a1，a2，a3，…，an这一列数中，显然a2＝16是一个完全平方数；试在a1，a2，a3，…，an这一列数中再找出2个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不需要说明理由）．
【分析】（1）观察规律：等号右边是连续奇数的平方差，即可得出结论；
（2）利用平方差公式，计算即可得出结论；
（3）由an＝8n，得出an＝8n＝4×2n，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵，
，
，
…，
∴an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，
故答案为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2；
（2）∵＝（3+1）（3﹣1）＝4×2＝8，
＝（5+3）（5﹣3）＝8×2＝16，
＝（7+5）（7﹣5）＝12×2＝24，
第n个数an的值是n的8倍；
故答案为8，16，24；
（3）由（2）知，an＝8n，
∴an＝8n＝4×2n，
当n＝2时，an＝16，
当n＝2×22＝8时，an＝172﹣152＝64，
当n＝2×32时，an＝372﹣352＝144，
∴n为正整数的平方的2倍时，an为完全平方数．
24．定义：点P是四边形ABCD内一点，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”，如，正方形的中心就是它的一个“准中心”．
（1）如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC＝∠PCB＝60°，证明点P是正四边形ABCD的一个“准中心”；
（2）填空：正方形ABCD共有 5 个“准中心”；
（3）已知∠BAD＝60°，AB＝AD＝6，点C是∠BAD平分线上的动点，问在四边形ABCD的对角线AC上最多存在几个“准中心”点P（自行画出示意图），并求出每个“准中心”点P对应线段AC的长（精确到个位）．
【分析】（1）根据正方形的性质，利用已知条件，即可解答；
（2）正方形ABCD共有5个“准中心”；
（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；分三种情况讨论：
①如图1，当PA＝PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，
②如图2，当PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，
③如图3，当AB＝PB＝PC＝PD＝AD时，点P是“准中心”点，
利用角平分线的性质、等腰三角形的性质和解直角三角形，即可求出AC的长．
【解答】解：（1）∵ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD，
又∵∠PBC＝∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝60°，
∴PB＝PC＝BC＝AB＝CD，
∴PA＝PD，
∴△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，
∴点P是正方形ABCD的一个“准中心”．
（2）正方形ABCD共有5个“准中心”；
（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；
①如图1，当PA＝PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，
∵∠BAD＝60°，点C是∠BAD平分线上，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BPC＝60°，∠ABC＝90°，
则AC＝．
②如图2，当PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，
则PA＝6，
∵∠BAD＝60°，点C是∠BAD平分线上，
∴∠BAC＝30°，
∴∠APB＝75°，
∴∠PCB＝＝37.5°，
作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，BE＝AB＝3，AE＝AB，
在Rt△CEB中，CE＝，
∴AC＝AE+CE＝．
③如图3，当AB＝PB＝PC＝PD＝AD时，点P是“准中心”点，
此时四边形ABPD是菱形，连接BD，
则PA＝2AE＝2AB•cs30°＝，
∴AC＝PA+PC＝．