还剩26页未读，
继续阅读
2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）（word版 含答案）
展开
这是一份2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14B．C．D．
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a6﹣a2＝a4D．a5+a5＝a10
4．如图，直线AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，则∠E的大小是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
5．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则代数式4m﹣2n+1的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l），你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
7．若直线l1经过点A（0，﹣6），直线l2经过点（3，2），且l1与l2关于y轴对称，则l1、l2与x轴交点之间的距离为（ ）
A．1B．C．3D．
8．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．4
9．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＝y2．
其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．分解因式：xy2﹣9x＝ ．
12．如图，在菱形ABCD中，AC＝BC＝2，分别以B、D为圆心，以BA为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ．
13．已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为 ．
14．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH，若EH＝4，EF＝5，那么线段AD与AB的比等于 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分）
15．（5分）计算：2﹣1+（﹣1）2018+|﹣|﹣（π﹣3.14）0
16．（5分）解方程：+＝1．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，利用尺规作图法在边AB上求作一点D，使CD分∠ABC为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，连接AE，EF和CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度数．
19．（6分）某区为响应市政府号召，在所有中学开展“创文创卫”活动．在活动中设置了“A．文明礼仪；B．环境保护；C．卫生保洁； D．垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展的情况，在全区随机抽取部分中学生进行调查，并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图．
（1）此次调查的学生人数是 人，条形统计图中m＝ ，n＝ ；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“选项D．垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 度；
（4）依据本次调查的结果，估计全区12000名中学生选“A．文明礼仪”约有多少人？
20．（8分）在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪（AE和BD）测得大树顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离（AB）为20m，已知点A，E，F，C，B，D在同一竖直平面内，且FC⊥AB，求大树的高度CF．（结果保留根号）
21．（8分）某公司需印制若干份资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）该公司需印制300份资料，选择哪种印刷方式较合算？
22．（9分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性相同，现有甲、乙两人经过该路口，求下列事件的概率：
（1）甲经过路口时左拐的概率；
（2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率．
23．（9分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的长．
24．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值：
（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．
25．（9分）发现问题：
（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）
问题探究：
（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．
2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14B．C．D．
【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可．
【解答】解：A选项，有限小数是有理数，故该选项不符合题意；
B选项，分数属于有理数，故该选项不符合题意；
C选项，＝3，属于有理数，故该选项不符合题意；
D选项，是开方开不尽的数，属于无理数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥
【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
【解答】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a6﹣a2＝a4D．a5+a5＝a10
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，错误；
B、（a2）3＝a6，正确；
C、不是同类项，不能合并，错误；
D、a5+a5＝2a5，错误；
故选：B．
4．如图，直线AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，则∠E的大小是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵∠2＝110°，
∴∠E＝∠2﹣∠3＝110°﹣50°＝60°，
故选：C．
5．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则代数式4m﹣2n+1的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】先把点（m，n）代入函数y＝2x+1求出2m﹣n的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，
∴2m+1＝n，即2m﹣n＝﹣1，
∴4m﹣2n+1＝2（2m﹣n）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
故选：B．
6．如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l），你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根据“垂线段最短”解答即可．
【解答】解：∵在PA，PB，PC，PD四条路线中只有PB⊥l，
∴PB最短．
故选：B．
7．若直线l1经过点A（0，﹣6），直线l2经过点（3，2），且l1与l2关于y轴对称，则l1、l2与x轴交点之间的距离为（ ）
A．1B．C．3D．
【分析】由对称性可知l2经过点（3，2）、（0，﹣6），由待定系数法求出l2解析式为y＝x﹣6，则可求l2与x轴的交点为（，0），再由l1与l2与x轴的交点关于y轴对称，则可求l1与x轴的交点为（﹣，0），即可求解．
【解答】解：∵l1与l2关于y轴对称，
∴l2经过点（3，2）、（0，﹣6），
设l2解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝x﹣6，
∴l2与x轴的交点为（，0），
∵l1与l2关于y轴对称，
∴l1与x轴的交点为（﹣，0），
∴l1、l2与x轴交点之间的距离为，
故选：D．
8．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．4
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【解答】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝8，
即图中阴影部分的周长为8，
故选：B．
9．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y（用a表示），再利用勾股定理求出AD，CD（用a表示）即可解决问题．
【解答】解：由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．
∴AH＝y+2a，BE＝x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝a，y＝a，
∵∠AHD＝90°，
∴AD＝＝＝a，CD＝AD＝a，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比＝2a2：×a＝，
故选：D．
10．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＝y2．
其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的图象知：当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故④正确；
∵对称轴方程为 x＝2，
∴（﹣3，y1）可得（7，y1）
∵（6，y2）在抛物线上，
∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误；
综上所述①③④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．分解因式：xy2﹣9x＝ x（y+3）（y﹣3） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣9x＝x（y2﹣9）＝x（y﹣3）（y+3）．
故答案为：x（y﹣3）（y+3）．
12．如图，在菱形ABCD中，AC＝BC＝2，分别以B、D为圆心，以BA为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 4﹣ ．
【分析】作AE⊥BC于E，根据等边三角形的性质求出∠ABC的度数和AE的长，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作AE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AC＝BC，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AE＝AB•sin∠ABC＝，
则图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣2×（扇形ABC的面积﹣△ABC的面积）
＝2×﹣2（﹣×2×）
＝4﹣，
故答案为：4﹣．
13．已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为 13 ．
【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），AB边的中点在反比例函数的图象上，进而算出m的值．
【解答】解：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），
∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），
∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），
∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，
∴﹣1+m＝12，
∴m＝13，
故答案为13．
14．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH，若EH＝4，EF＝5，那么线段AD与AB的比等于 ．
【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，由“AAS”可证Rt△AHE≌Rt△CFG，可得AH＝CF＝FN，再由勾股定理及直角三角形的面积公式求出AD，AB的长，即可求解．
【解答】解：如图：
由折叠的性质可得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，AE＝EM＝BE，DH＝HN，CF＝FN，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠HEF＝90°，
同理四边形EFGH的其它内角都是90°，
∴四边形EFGH是矩形．
∴EH＝FG；
又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠5，
同理∠5＝∠7＝∠8，
∴∠1＝∠8，
∴Rt△AHE≌Rt△CFG（AAS），
∴AH＝CF＝FN，
又∵HD＝HN，
∴AD＝HF，
在Rt△HEF中，EH＝4，EF＝5，根据勾股定理得HF＝＝＝AD，
∵S△EFH＝×EF×EH＝×HF×EM，
∴EM＝，
∴AB＝2AE＝2EM＝，
∴AD：AB＝41：40＝，
故答案为：
三、解答题（本大题共9个小题，共78分）
15．（5分）计算：2﹣1+（﹣1）2018+|﹣|﹣（π﹣3.14）0
【分析】先计算负整数指数幂、乘方、取绝对值和零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝+1+﹣﹣1
＝．
16．（5分）解方程：+＝1．
【分析】根据等式的性质，可转化成整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以2x﹣3），得
1﹣3＝2x﹣3．
解得x＝，
检验：x＝时，2x﹣3≠0，
x＝是原分式方程的解．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，利用尺规作图法在边AB上求作一点D，使CD分∠ABC为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作AB的垂直平分线交AB于D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DB＝DC＝DA．
【解答】解：如图，点D为所作．
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，连接AE，EF和CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF；
（2）根据题意可知△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，求出∠AEB＝75°．由（1）知△ABE≌△CBF，可得∠CFB＝∠AEB＝75°，利用角之间的关系即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，
∴∠ABC＝∠CBF＝90°．
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF．
（2）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，
∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠EFB＝45°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠AEB＝∠CAE+∠ACB＝30°+45°＝75°．
由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠CFB＝∠AEB＝75°．
∴∠EFC＝∠CFB﹣∠EFB＝75°﹣45°＝30°．
19．（6分）某区为响应市政府号召，在所有中学开展“创文创卫”活动．在活动中设置了“A．文明礼仪；B．环境保护；C．卫生保洁； D．垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展的情况，在全区随机抽取部分中学生进行调查，并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图．
（1）此次调查的学生人数是 500 人，条形统计图中m＝ 225 ，n＝ 25 ；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“选项D．垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 18 度；
（4）依据本次调查的结果，估计全区12000名中学生选“A．文明礼仪”约有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得，“B．环境保护”的频数150人，占调查人数的30%，即可求出调查人数，进而根据频数、频率、总数之间的关系求出m、n的值；
（2）求出“C．卫生保洁”的频数即可补全条形统计图；
（3）“D．垃圾分类”占整体的5%，因此相应的圆心角的度数占360°的5%；
（4）求12000人的45%即可．
【解答】解：（1）150÷30%＝500（人），
m＝500×45%＝225（人），
n＝500×5%＝25（人），
故答案为：500，225，25；
（2）500×20%＝100（人），补全条形统计图如图所示：
（3）360°×5%＝18°，
故答案为：18；
（4）12000×45%＝5400（人），
答：全区12000名中学生选“A．文明礼仪”约有5400人．
20．（8分）在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪（AE和BD）测得大树顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离（AB）为20m，已知点A，E，F，C，B，D在同一竖直平面内，且FC⊥AB，求大树的高度CF．（结果保留根号）
【分析】在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF＝CG+GF．
【解答】解：∵AB＝20m，
∴DE＝DG+EG＝20m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG＝45°，
∴EG＝CG，
在Rt△CDG中，
∵∠CDG＝30°，∠DCG＝60°，
∴DG＝CG•tan60°，
则DE＝CG•tan60°+CG＝20m．
即DE＝CG+CG＝20．
∴CG＝10﹣10．
由题意知：GF＝1.5m．
∴CF＝CG+GF＝10﹣10+1.5＝（1﹣8.5）（米），
答：大树的高度为（1﹣8.5）米．
21．（8分）某公司需印制若干份资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）该公司需印制300份资料，选择哪种印刷方式较合算？
【分析】（1）设出两种收费的函数表达式，代入图象上的点求得答案即可；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y甲＞y乙时，当y甲＝y乙时，当y甲＜y乙时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
【解答】解：（1）设甲种收费的函数表达式y甲＝kx+b，乙种收费的函数表达式是y乙＝k1x，
把（0，6），（100，16）代入y甲＝kx+b，
得，
解得，
∴y甲＝0.1x+6（x≥0的整数），
把（100，12）代入y乙＝k1x，
解得：k1＝0.12，
∴y乙＝0.12x（x≥0的整数）；
故答案为：y甲＝0.1x+6（x≥0的整数），y乙＝0.12x（x≥0的整数）．
（2）由题意，得：
当y甲＞y甲时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y甲＝y乙时，0.1x+6＝0.12x，得x＝300；
当y甲＜y乙时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当x＝300时，选择两种印刷方式费用一样．
22．（9分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性相同，现有甲、乙两人经过该路口，求下列事件的概率：
（1）甲经过路口时左拐的概率；
（2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出至少有一人直行的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）甲经过路口时左拐的概率为；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中至少有一人直行的有5种结果，
所以至少有一人直行的概率为．
23．（9分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的长．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据切线的性质得∠ABD＝90°，则∠BAD+∠D＝90°，然后利用等量代换证明∠BED＝∠D，从而判断BD＝BE；
（2）利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，则根据等腰三角形的性质DF＝EF＝DE＝1，再证明△DFB∽△DBA，利用相似比求出AD的长，然后计算AD﹣DE即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°
而∠BED＝∠CEA，
∴∠CAE+∠BED＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°
∴∠BAD+∠D＝90°，
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴∠BED＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，且BE＝BD，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∵∠FDB＝∠BDA，
∴△DFB∽△DBA，
∴＝，
∴DA＝2×2＝20，
∴AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．
24．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值：
（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可求出答案；
（2）求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），分PC＝CH或PC＝PH或CH＝PH三种情况，构造关于x的方程即可得解；
（3）利用两点距离公式分别求出MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，ME2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2，NE2＝（x2﹣1）2+（y2﹣4）2，由勾股定理的逆定理可得∠MEN＝90°，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b＝2，c＝3；
（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入y＝kx+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，
则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，
当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵CM∥OB，
∴∠MCH＝∠OBC＝45°，
∴∠PCH＝90°，
∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），
即x＝（﹣x2+3x），
解得：x1＝0（舍去），x2＝1，
∴P（1，4）；
②如图2，当PC＝PH时，
∵PH∥OC，
∴∠PHC＝∠OCB＝45°，
∴∠CPH＝90°，
∴点P的纵坐标为3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴P（2，3）；
③当CH＝PH时，如图3，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝＝3．
∵HF∥OC，
∴，
∴，
解得：x＝3﹣，
∴P（3﹣，4﹣2）．
综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．
（3）∵函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点E（1，4）；
设点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，ME2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2，NE2＝（x2﹣1）2+（y2﹣4）2，
∵ME2+NE2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2+（x2﹣1）2+（y2﹣4）2＝x12+x22﹣2（x1+x2）+2+y12+y22﹣8（y1+y2）+32
＝x12+x22﹣2x1x2+2﹣4+y12+y22﹣2y1•y2+18﹣48+32
═（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，
∴MN2＝ME2+NE2，
∴∠MEN＝90°，
故EM⊥EN，
即：△EMN恒为直角三角形．
25．（9分）发现问题：
（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）
问题探究：
（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．
【分析】（1）如图1所示．作直径AB的垂直平分线，交⊙O于点P和点P'，则点P和点P'即为所求；
（2）如图2和图2'所示：证明△BPD∽△CAP，根据相似三角形的性质得出比例式，设BP＝x，则PC＝6﹣x，解方程，方程的解即为BP的长度；
（3）先过E、F作圆与PQ相切于点M′，此时∠FM′E的角度最大，再根据已知角度和线段的长度，求出圆的半径，从而得出PM′的长．
【解答】解：（1）如图所示：作AB的垂直平分线交⊙O于点P、P'，则点P或P'即为所求；’
（2）存在．
如图2和图2'所示：
在△ABC中
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，AD＝2
∴∠B＝∠C＝45°，BD＝，BC＝AB＝6
∴∠BDP+∠BPD＝135°
∵∠APD＝45°
∴∠APC+∠BPD＝135°
∴∠BDP＝∠APC
∴△BPD∽△CAP
∴＝
设BP＝x，则PC＝6﹣x
∴＝
解得x1＝3+，x2＝3﹣
∴BP＝3+或BP＝3﹣；
（3）如图3，过点E、F作圆，与PQ相切于点M′，圆心为点O，连接FM′，EM′，此时∠FM′E的度数最大．
理由：在⊙O上取一点G，连接FG并延长交PQ于点M，连接AG，AM，
∵∠FGE＝∠FM′E，∠FGE＞∠FME，
∴∠FM′E＞∠FME，
∴∠FM′E的度数最大．
作线段EF的中垂线l，l经过圆心O，且交EF于点N，交PQ于点K，过点K作KH⊥BC于H．
设⊙O的半径为r，
则OE＝OM′＝r，
∵∠BPQ＝135°，
∴∠KPH＝45°，
∴△PHK是等腰直角三角形，
∴PH＝KH．
∵AB＝66，EF＝8，
∴BN＝33，EN＝4，
∴PH＝KH＝33，
∴BH＝33+7＝40，
∴KN＝40．
在等腰Rt△OKM′中，
OK＝＝r，
∴ON＝NK﹣OK＝40﹣r．
在Rt△ONE中，
42+（40﹣r）2＝r2，
解得r1＝40﹣12，r2＝40+12（舍去），
∴PM′＝PK﹣r＝33﹣40+12＝12﹣7．
∴当射门角度最大时，PM的长度为（12﹣7）米．
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14B．C．D．
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a6﹣a2＝a4D．a5+a5＝a10
4．如图，直线AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，则∠E的大小是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
5．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则代数式4m﹣2n+1的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l），你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
7．若直线l1经过点A（0，﹣6），直线l2经过点（3，2），且l1与l2关于y轴对称，则l1、l2与x轴交点之间的距离为（ ）
A．1B．C．3D．
8．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．4
9．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＝y2．
其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．分解因式：xy2﹣9x＝ ．
12．如图，在菱形ABCD中，AC＝BC＝2，分别以B、D为圆心，以BA为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ．
13．已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为 ．
14．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH，若EH＝4，EF＝5，那么线段AD与AB的比等于 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分）
15．（5分）计算：2﹣1+（﹣1）2018+|﹣|﹣（π﹣3.14）0
16．（5分）解方程：+＝1．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，利用尺规作图法在边AB上求作一点D，使CD分∠ABC为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，连接AE，EF和CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度数．
19．（6分）某区为响应市政府号召，在所有中学开展“创文创卫”活动．在活动中设置了“A．文明礼仪；B．环境保护；C．卫生保洁； D．垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展的情况，在全区随机抽取部分中学生进行调查，并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图．
（1）此次调查的学生人数是 人，条形统计图中m＝ ，n＝ ；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“选项D．垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 度；
（4）依据本次调查的结果，估计全区12000名中学生选“A．文明礼仪”约有多少人？
20．（8分）在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪（AE和BD）测得大树顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离（AB）为20m，已知点A，E，F，C，B，D在同一竖直平面内，且FC⊥AB，求大树的高度CF．（结果保留根号）
21．（8分）某公司需印制若干份资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）该公司需印制300份资料，选择哪种印刷方式较合算？
22．（9分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性相同，现有甲、乙两人经过该路口，求下列事件的概率：
（1）甲经过路口时左拐的概率；
（2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率．
23．（9分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的长．
24．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值：
（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．
25．（9分）发现问题：
（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）
问题探究：
（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．
2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14B．C．D．
【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可．
【解答】解：A选项，有限小数是有理数，故该选项不符合题意；
B选项，分数属于有理数，故该选项不符合题意；
C选项，＝3，属于有理数，故该选项不符合题意；
D选项，是开方开不尽的数，属于无理数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥
【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
【解答】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a6﹣a2＝a4D．a5+a5＝a10
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，错误；
B、（a2）3＝a6，正确；
C、不是同类项，不能合并，错误；
D、a5+a5＝2a5，错误；
故选：B．
4．如图，直线AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，则∠E的大小是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵∠2＝110°，
∴∠E＝∠2﹣∠3＝110°﹣50°＝60°，
故选：C．
5．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则代数式4m﹣2n+1的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】先把点（m，n）代入函数y＝2x+1求出2m﹣n的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，
∴2m+1＝n，即2m﹣n＝﹣1，
∴4m﹣2n+1＝2（2m﹣n）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
故选：B．
6．如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l），你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根据“垂线段最短”解答即可．
【解答】解：∵在PA，PB，PC，PD四条路线中只有PB⊥l，
∴PB最短．
故选：B．
7．若直线l1经过点A（0，﹣6），直线l2经过点（3，2），且l1与l2关于y轴对称，则l1、l2与x轴交点之间的距离为（ ）
A．1B．C．3D．
【分析】由对称性可知l2经过点（3，2）、（0，﹣6），由待定系数法求出l2解析式为y＝x﹣6，则可求l2与x轴的交点为（，0），再由l1与l2与x轴的交点关于y轴对称，则可求l1与x轴的交点为（﹣，0），即可求解．
【解答】解：∵l1与l2关于y轴对称，
∴l2经过点（3，2）、（0，﹣6），
设l2解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝x﹣6，
∴l2与x轴的交点为（，0），
∵l1与l2关于y轴对称，
∴l1与x轴的交点为（﹣，0），
∴l1、l2与x轴交点之间的距离为，
故选：D．
8．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．4
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【解答】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝8，
即图中阴影部分的周长为8，
故选：B．
9．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y（用a表示），再利用勾股定理求出AD，CD（用a表示）即可解决问题．
【解答】解：由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．
∴AH＝y+2a，BE＝x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝a，y＝a，
∵∠AHD＝90°，
∴AD＝＝＝a，CD＝AD＝a，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比＝2a2：×a＝，
故选：D．
10．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③4a+b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＝y2．
其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的图象知：当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故④正确；
∵对称轴方程为 x＝2，
∴（﹣3，y1）可得（7，y1）
∵（6，y2）在抛物线上，
∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误；
综上所述①③④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．分解因式：xy2﹣9x＝ x（y+3）（y﹣3） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣9x＝x（y2﹣9）＝x（y﹣3）（y+3）．
故答案为：x（y﹣3）（y+3）．
12．如图，在菱形ABCD中，AC＝BC＝2，分别以B、D为圆心，以BA为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 4﹣ ．
【分析】作AE⊥BC于E，根据等边三角形的性质求出∠ABC的度数和AE的长，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作AE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AC＝BC，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AE＝AB•sin∠ABC＝，
则图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣2×（扇形ABC的面积﹣△ABC的面积）
＝2×﹣2（﹣×2×）
＝4﹣，
故答案为：4﹣．
13．已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为 13 ．
【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），AB边的中点在反比例函数的图象上，进而算出m的值．
【解答】解：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），
∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），
∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），
∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，
∴﹣1+m＝12，
∴m＝13，
故答案为13．
14．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH，若EH＝4，EF＝5，那么线段AD与AB的比等于 ．
【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，由“AAS”可证Rt△AHE≌Rt△CFG，可得AH＝CF＝FN，再由勾股定理及直角三角形的面积公式求出AD，AB的长，即可求解．
【解答】解：如图：
由折叠的性质可得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，AE＝EM＝BE，DH＝HN，CF＝FN，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠HEF＝90°，
同理四边形EFGH的其它内角都是90°，
∴四边形EFGH是矩形．
∴EH＝FG；
又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠5，
同理∠5＝∠7＝∠8，
∴∠1＝∠8，
∴Rt△AHE≌Rt△CFG（AAS），
∴AH＝CF＝FN，
又∵HD＝HN，
∴AD＝HF，
在Rt△HEF中，EH＝4，EF＝5，根据勾股定理得HF＝＝＝AD，
∵S△EFH＝×EF×EH＝×HF×EM，
∴EM＝，
∴AB＝2AE＝2EM＝，
∴AD：AB＝41：40＝，
故答案为：
三、解答题（本大题共9个小题，共78分）
15．（5分）计算：2﹣1+（﹣1）2018+|﹣|﹣（π﹣3.14）0
【分析】先计算负整数指数幂、乘方、取绝对值和零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝+1+﹣﹣1
＝．
16．（5分）解方程：+＝1．
【分析】根据等式的性质，可转化成整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以2x﹣3），得
1﹣3＝2x﹣3．
解得x＝，
检验：x＝时，2x﹣3≠0，
x＝是原分式方程的解．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，利用尺规作图法在边AB上求作一点D，使CD分∠ABC为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作AB的垂直平分线交AB于D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DB＝DC＝DA．
【解答】解：如图，点D为所作．
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，连接AE，EF和CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF；
（2）根据题意可知△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，求出∠AEB＝75°．由（1）知△ABE≌△CBF，可得∠CFB＝∠AEB＝75°，利用角之间的关系即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，
∴∠ABC＝∠CBF＝90°．
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF．
（2）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，
∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠EFB＝45°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠AEB＝∠CAE+∠ACB＝30°+45°＝75°．
由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠CFB＝∠AEB＝75°．
∴∠EFC＝∠CFB﹣∠EFB＝75°﹣45°＝30°．
19．（6分）某区为响应市政府号召，在所有中学开展“创文创卫”活动．在活动中设置了“A．文明礼仪；B．环境保护；C．卫生保洁； D．垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展的情况，在全区随机抽取部分中学生进行调查，并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图．
（1）此次调查的学生人数是 500 人，条形统计图中m＝ 225 ，n＝ 25 ；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“选项D．垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 18 度；
（4）依据本次调查的结果，估计全区12000名中学生选“A．文明礼仪”约有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得，“B．环境保护”的频数150人，占调查人数的30%，即可求出调查人数，进而根据频数、频率、总数之间的关系求出m、n的值；
（2）求出“C．卫生保洁”的频数即可补全条形统计图；
（3）“D．垃圾分类”占整体的5%，因此相应的圆心角的度数占360°的5%；
（4）求12000人的45%即可．
【解答】解：（1）150÷30%＝500（人），
m＝500×45%＝225（人），
n＝500×5%＝25（人），
故答案为：500，225，25；
（2）500×20%＝100（人），补全条形统计图如图所示：
（3）360°×5%＝18°，
故答案为：18；
（4）12000×45%＝5400（人），
答：全区12000名中学生选“A．文明礼仪”约有5400人．
20．（8分）在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪（AE和BD）测得大树顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离（AB）为20m，已知点A，E，F，C，B，D在同一竖直平面内，且FC⊥AB，求大树的高度CF．（结果保留根号）
【分析】在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF＝CG+GF．
【解答】解：∵AB＝20m，
∴DE＝DG+EG＝20m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG＝45°，
∴EG＝CG，
在Rt△CDG中，
∵∠CDG＝30°，∠DCG＝60°，
∴DG＝CG•tan60°，
则DE＝CG•tan60°+CG＝20m．
即DE＝CG+CG＝20．
∴CG＝10﹣10．
由题意知：GF＝1.5m．
∴CF＝CG+GF＝10﹣10+1.5＝（1﹣8.5）（米），
答：大树的高度为（1﹣8.5）米．
21．（8分）某公司需印制若干份资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）该公司需印制300份资料，选择哪种印刷方式较合算？
【分析】（1）设出两种收费的函数表达式，代入图象上的点求得答案即可；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y甲＞y乙时，当y甲＝y乙时，当y甲＜y乙时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
【解答】解：（1）设甲种收费的函数表达式y甲＝kx+b，乙种收费的函数表达式是y乙＝k1x，
把（0，6），（100，16）代入y甲＝kx+b，
得，
解得，
∴y甲＝0.1x+6（x≥0的整数），
把（100，12）代入y乙＝k1x，
解得：k1＝0.12，
∴y乙＝0.12x（x≥0的整数）；
故答案为：y甲＝0.1x+6（x≥0的整数），y乙＝0.12x（x≥0的整数）．
（2）由题意，得：
当y甲＞y甲时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y甲＝y乙时，0.1x+6＝0.12x，得x＝300；
当y甲＜y乙时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当x＝300时，选择两种印刷方式费用一样．
22．（9分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性相同，现有甲、乙两人经过该路口，求下列事件的概率：
（1）甲经过路口时左拐的概率；
（2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出至少有一人直行的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）甲经过路口时左拐的概率为；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中至少有一人直行的有5种结果，
所以至少有一人直行的概率为．
23．（9分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的长．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据切线的性质得∠ABD＝90°，则∠BAD+∠D＝90°，然后利用等量代换证明∠BED＝∠D，从而判断BD＝BE；
（2）利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，则根据等腰三角形的性质DF＝EF＝DE＝1，再证明△DFB∽△DBA，利用相似比求出AD的长，然后计算AD﹣DE即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°
而∠BED＝∠CEA，
∴∠CAE+∠BED＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°
∴∠BAD+∠D＝90°，
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴∠BED＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，且BE＝BD，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∵∠FDB＝∠BDA，
∴△DFB∽△DBA，
∴＝，
∴DA＝2×2＝20，
∴AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．
24．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值：
（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可求出答案；
（2）求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），分PC＝CH或PC＝PH或CH＝PH三种情况，构造关于x的方程即可得解；
（3）利用两点距离公式分别求出MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，ME2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2，NE2＝（x2﹣1）2+（y2﹣4）2，由勾股定理的逆定理可得∠MEN＝90°，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b＝2，c＝3；
（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入y＝kx+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，
则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，
当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵CM∥OB，
∴∠MCH＝∠OBC＝45°，
∴∠PCH＝90°，
∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），
即x＝（﹣x2+3x），
解得：x1＝0（舍去），x2＝1，
∴P（1，4）；
②如图2，当PC＝PH时，
∵PH∥OC，
∴∠PHC＝∠OCB＝45°，
∴∠CPH＝90°，
∴点P的纵坐标为3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴P（2，3）；
③当CH＝PH时，如图3，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝＝3．
∵HF∥OC，
∴，
∴，
解得：x＝3﹣，
∴P（3﹣，4﹣2）．
综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．
（3）∵函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点E（1，4）；
设点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，ME2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2，NE2＝（x2﹣1）2+（y2﹣4）2，
∵ME2+NE2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2+（x2﹣1）2+（y2﹣4）2＝x12+x22﹣2（x1+x2）+2+y12+y22﹣8（y1+y2）+32
＝x12+x22﹣2x1x2+2﹣4+y12+y22﹣2y1•y2+18﹣48+32
═（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，
∴MN2＝ME2+NE2，
∴∠MEN＝90°，
故EM⊥EN，
即：△EMN恒为直角三角形．
25．（9分）发现问题：
（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）
问题探究：
（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．
【分析】（1）如图1所示．作直径AB的垂直平分线，交⊙O于点P和点P'，则点P和点P'即为所求；
（2）如图2和图2'所示：证明△BPD∽△CAP，根据相似三角形的性质得出比例式，设BP＝x，则PC＝6﹣x，解方程，方程的解即为BP的长度；
（3）先过E、F作圆与PQ相切于点M′，此时∠FM′E的角度最大，再根据已知角度和线段的长度，求出圆的半径，从而得出PM′的长．
【解答】解：（1）如图所示：作AB的垂直平分线交⊙O于点P、P'，则点P或P'即为所求；’
（2）存在．
如图2和图2'所示：
在△ABC中
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，AD＝2
∴∠B＝∠C＝45°，BD＝，BC＝AB＝6
∴∠BDP+∠BPD＝135°
∵∠APD＝45°
∴∠APC+∠BPD＝135°
∴∠BDP＝∠APC
∴△BPD∽△CAP
∴＝
设BP＝x，则PC＝6﹣x
∴＝
解得x1＝3+，x2＝3﹣
∴BP＝3+或BP＝3﹣；
（3）如图3，过点E、F作圆，与PQ相切于点M′，圆心为点O，连接FM′，EM′，此时∠FM′E的度数最大．
理由：在⊙O上取一点G，连接FG并延长交PQ于点M，连接AG，AM，
∵∠FGE＝∠FM′E，∠FGE＞∠FME，
∴∠FM′E＞∠FME，
∴∠FM′E的度数最大．
作线段EF的中垂线l，l经过圆心O，且交EF于点N，交PQ于点K，过点K作KH⊥BC于H．
设⊙O的半径为r，
则OE＝OM′＝r，
∵∠BPQ＝135°，
∴∠KPH＝45°，
∴△PHK是等腰直角三角形，
∴PH＝KH．
∵AB＝66，EF＝8，
∴BN＝33，EN＝4，
∴PH＝KH＝33，
∴BH＝33+7＝40，
∴KN＝40．
在等腰Rt△OKM′中，
OK＝＝r，
∴ON＝NK﹣OK＝40﹣r．
在Rt△ONE中，
42+（40﹣r）2＝r2，
解得r1＝40﹣12，r2＝40+12（舍去），
∴PM′＝PK﹣r＝33﹣40+12＝12﹣7．
∴当射门角度最大时，PM的长度为（12﹣7）米．
相关试卷
2022年陕西省西安市（师大附中）中考数学仿真试卷含解析： 这是一份2022年陕西省西安市（师大附中）中考数学仿真试卷含解析，共23页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如图，能判定EB∥AC的条件是，下列计算中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试题（三）(word版含答案)： 这是一份2022年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试题（三）(word版含答案)，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年陕西省西安市临潼区中考数学模拟试卷(word版无答案)： 这是一份2022年陕西省西安市临潼区中考数学模拟试卷(word版无答案)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
