高考数学一轮复习　第三章 第2节 第3课时导数在研究函数中的应用

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考点一 构造函数证明不等式
【例1】 已知函数f(x)＝1－eq \f(x－1,ex)，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－eq \f(1,e2).
证明 (1)由题意得g′(x)＝eq \f(x－1,x)(x>0)，
当00时，ln x＋1>eq \f(1,ex＋1)－eq \f(2,e2x)等价于x(ln x＋1)>eq \f(x,ex＋1)－eq \f(2,e2).
由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－eq \f(1,e2)，当且仅当x＝eq \f(1,e2)时取等号.
设G(x)＝eq \f(x,ex＋1)－eq \f(2,e2)，x∈(0，＋∞)，
则G′(x)＝eq \f(1－x,ex＋1)，易知G(x)max＝G(1)＝－eq \f(1,e2)，
当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即ln x＋1>eq \f(1,ex＋1)－eq \f(2,e2x).
规律方法 1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.
2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.
【训练2】 已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xln x＋eq \f(a,x)(a≥1).
(1)求f(x)的极值；
(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).
(1)解 依题意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，
知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，
所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1.
(2)证明 易得x>0时，f(x)最大值＝1，
由a≥1知，g(x)≥xln x＋eq \f(1,x)(x>0)，
令h(x)＝xln x＋eq \f(1,x)(x>0)，
则h′(x)＝ln x＋1－eq \f(1,x2)＝ln x＋eq \f(x2－1,x2)，
注意到h′(1)＝0，当x>1时，h′(x)>0；
当0