高考数学一轮复习　第一章 第1节　集合

这是一份高考数学一轮复习　第一章 第1节　集合，共13页。试卷主要包含了集合间的基本关系，集合的基本运算，集合的运算性质等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知 识 梳 理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
[微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
解析 (1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤eq \r(2 019)}，a＝2eq \r(2)，则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
解析 因为a＝2eq \r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq \r(2 019)的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.
答案 D
3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.
解析 由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个).
答案 64
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A.{x|－10}＝{x|x2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.
法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.
答案 B
5.(2019·菏泽模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B.
解析 因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以AB.
答案 
6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
A.M＝N B.M⊆N
C.M∩N＝ D.N⊆M
(2)若x∈A，则eq \f(1,x)∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是( )
A.1 B.3 C.7 D.31
解析 (1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.
(2)具有伙伴关系的元素组是－1，eq \f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，2)).
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设集合A＝{x|(x－a)2