高考数学一轮复习　第七章 第6节 第2课时利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)

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考点一 用空间向量求异面直线所成的角
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)
(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(3,4) C.eq \f(7,8) D.eq \f(1,4)
解析 (1)法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
图(1)
则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，eq \r(3)，0).
所以eq \(AB1,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3)，1)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，
则cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→)),|\(AB1,\s\up6(→))|·|\(BC1,\s\up6(→))|)
＝eq \f(（1，－\r(3)，1）·（1，0，1）,\r(5)·\r(2))＝eq \f(2,\r(5)·\r(2))＝eq \f(\r(10),5)，
因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5).
法二 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.
图(2)
则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝eq \r(5)，BC1＝AD1＝eq \r(2)，B1D1＝eq \r(3).
由余弦定理得cs∠B1AD1＝eq \f(\r(10),5).
(2)法一 取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝eq \f(\r(3),2)a，所以cs ∠PBD＝eq \f(a2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a))\s\up12(2),2×a×a)＝eq \f(5,8).
法二 如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
设AB＝2，则A(eq \r(3)，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1，0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1，－\f(3,2)))，
cs 〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))〉＝－eq \f(5,8)，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为eq \f(5,8).
法三 如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB＝2，则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))，
故eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＝－eq \f(5,2)，
所以cs 〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(PB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|·|\(PB,\s\up6(→))|)＝－eq \f(5,8).
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为eq \f(5,8).
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cs〈v1，v2〉|＝eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解.
2.两异面直线所成角的范围是θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝eq \r(2)AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,5)
解析 法一 如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，
那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1＝eq \r(2)AB＝eq \r(2)a，
则AC1＝C1B′＝eq \r(3)a，
连接AB′，则AB′＝eq \r(a2＋（2\r(2)a）2)＝3a，
由余弦定理得
cs ∠AC1B′＝eq \f(（\r(3)a）2＋（\r(3)a）2－（3a）2,2（\r(3)a）·（\r(3)a）)＝－eq \f(1,2).
故直线MN与EF所成角的余弦值为eq \f(1,2).
法二 如图，连接AC1，C1B，CB1，
设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，
则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，
那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1＝eq \r(2)AB＝eq \r(2)a，则AC1＝CB1＝eq \r(3)a，
于是OD＝OC＝eq \f(\r(3)a,2)，
又CD＝eq \f(\r(3)a,2)，于是△OCD为正三角形，
故∠DOC＝60°，cs ∠DOC＝eq \f(1,2)，即直线MN与EF所成角的余弦值为eq \f(1,2).
法三 取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB＝2，则AA1＝2eq \r(2)，求得M(－1，0，eq \r(2))，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，2\r(2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，F(1，0，eq \r(2))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\r(2)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，\r(2)))，
cs 〈eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(MN,\s\up6(→))·\(EF,\s\up6(→)),|\(MN,\s\up6(→))|·|\(EF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,2),\r(3)×\r(3))＝eq \f(1,2).
答案 C
考点二 用空间向量求线面角
【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明 因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2eq \r(3).
连接OB，因为AB＝BC＝eq \f(\r(2),2)AC，
所以AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝eq \f(1,2)AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解 如图，以O为坐标原点，eq \(OB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq \r(3))，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0，2，2eq \r(3)).取平面PAC的一个法向量eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，0，0).
设M(a，2－a，0)(0AD.设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P－BC－A为γ，则( )
A.α