高考数学一轮复习　第七章 第3节直线、平面平行的判定及性质

这是一份高考数学一轮复习　第七章 第3节直线、平面平行的判定及性质，共21页。试卷主要包含了平面与平面平行，改编)下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
[微点提醒]
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(必修2P61A1(2)改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行
C.直线a与平面α内无数条直线不相交
D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
答案 D
3.(必修2P61A1(1)改编)下列命题中正确的是( )
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D.
答案 D
4.(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.m∥α，n∥α，则m∥n B.m∥n，m∥α，则n∥α
C.m⊥α，m⊥β，则α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
解析 A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错.
答案 C
5.(2019·济宁月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
答案 A
6.(2019·北京十八中开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
答案 平行四边形
考点一 与线、面平行相关命题的判定
【例1】 (1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b
B.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D.若α∥β，a⊂α，则a∥β
(2)(2019·聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
解析 (1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；
对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；
对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；
对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.
(2)在B中，如图，连接MN，PN，
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，
AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】 (1)下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1，则下面说法正确的是________(填序号).
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
解析 (1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.
(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，
易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的.
对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.
所以C1Q∥平面APC是正确的.
对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.
对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
答案 (1)C (2)②③
考点二 直线与平面平行的判定与性质多维探究
角度1 直线与平面平行的判定
【例2－1】 (2019·东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝eq \f(1,2)CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝eq \f(1,2)CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解 ∵EF∥平面PDC，
∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝eq \r(2).
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，则PC＝eq \r(3)，∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，
∴S△PDC＝eq \f(1,2)×1×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),2).
连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
则eq \f(1,3)×h×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3)×1×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1，∴h＝eq \f(\r(2),4)，
∴点F到平面PDC的距离为eq \f(\r(2),4).
角度2 直线与平面平行性质定理的应用
【例2－2】 (2018·上饶模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.
(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.
解 (1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝eq \f(1,3)S△A1B1B· DA＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3).
(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：
因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.
又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.
又E为DD1的中点，则G为CD的中点.
故BG∥B1F，BG就是所求直线.
规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
【训练2】 (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，
又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.
考点三 面面平行的判定与性质 典例迁移
【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求eq \f(AD,DC)的值.
解 连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(A1O,OB)＝1.
又由题设eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(DC,AD)，
∴eq \f(DC,AD)＝1，即eq \f(AD,DC)＝1.
规律方法 1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【训练3】 (2019·南昌二模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.
(1)确定点E，F的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥F－DCE的体积.
解 (1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CE∥AD，又AB∥DC，
所以四边形AECD是平行四边形，
所以DC＝AE＝eq \f(1,2)AB，
即点E是AB的中点.
因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，
所以EF∥PA，又点E是AB的中点，
所以点F是PB的中点.
综上，E，F分别是AB，PB的中点.
(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，
所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PE⊥平面ABCD.
又AB∥CD，AB⊥AD，
所以VF－DEC＝eq \f(1,2)VP－DEC＝eq \f(1,6)S△DEC×PE＝eq \f(1,6)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(2,3).
[思维升华]
1.转化思想：三种平行关系之间的转化
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.
2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
[易错防范]
1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.
3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.
4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α与直线l至少有两个公共点
D.α内的直线与l都相交
解析 因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线.
答案 B
2.(2019·大连双基测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是( )
A.l⊂α，m⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C.l∥α，m⊂α D.l⊂α，α∩β＝m
解析 选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B.
答案 B
3.(2018·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
解析 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
答案 B
4.(2018·重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析 对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.
答案 D
5.(2019·青岛模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
解析 如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，
∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.
∴CD∥平面EFGH，
同理，AB∥平面EFGH，
所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.
答案 C
二、填空题
6.(2018·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
解析 根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq \r(2).
答案 eq \r(2)
7.如图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________.
解析 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β相交于AB，A′B′，所以AB∥A′B′.同理BC∥B′C′，CA∥C′A′.所以△ABC与△A′B′C′的三内角相等，所以△ABC∽△A′B′C′，eq \f(A′B′,AB)＝eq \f(OA′,OA)＝eq \f(2,3).S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，所以S△A′B′C′＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(4,9)＝eq \f(2\r(3),9).
答案 eq \f(2\r(3),9)
8.(2019·郑州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).
解析 ①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.
答案 ②
三、解答题
9.(2019·武汉模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点.
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.
(1)证明 在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O，则O是AC的中点.
又E是PA的中点，连接EO，则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，
又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)解 设三棱锥E－ABD的体积为V1，高为h，四棱锥P－ABCD的体积为V，
则三棱锥E－ABD的体积V1＝eq \f(1,3)×S△ABD×h，
因为E是PA的中点，所以四棱锥P－ABCD的高为2h，
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×S四边形ABCD×2h＝4×eq \f(1,3)S△ABD×h＝4V1，
所以(V－V1)∶V1＝3∶1，
所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.
10.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A.4条 B.6条
C.8条 D.12条
解析 如图，H，G，F，I是相应线段的中点，
故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，
有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.
答案 B
12.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析 A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.
答案 D
13.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
解析 如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案 Q为CC1的中点
14.(2018·河南六市三模)已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.
(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；
(2)求三棱锥E－ABC的体积.
解 (1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.
证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，
∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，
∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，
∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，
∴EN∥AH，
∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，
∴EN∥平面ABC.
又M，N分别为BD，DC的中点，
∴MN∥BC，
∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，
∴平面EMN∥平面ABC，
又EF⊂平面EMN，
∴EF∥平面ABC，
即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.
(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，
由(1)可知EN∥平面ABC，
∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，
又△BCD是边长为2的等边三角形，
∴DH⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，
∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，
易知DH＝eq \r(3)，又N为CD中点，∴NG＝eq \f(\r(3),2)，
又AC＝AB＝3，BC＝2，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·BC·AH＝eq \f(1,2)×2×eq \r(32－12)＝2eq \r(2)，
∴VE－ABC＝VN－ABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·NG＝eq \f(\r(6),3).
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15.(答案不唯一型)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，
a∥β，b∥β⇒α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b⇒a∥b