高考数学一轮复习　第十章 第2节

这是一份高考数学一轮复习　第十章 第2节，共14页。试卷主要包含了理解排列、组合的概念；2，排列数与组合数，排列数、组合数的公式及性质等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
[微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
(3)若组合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立.( )
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )
(5)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).( )
解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m或n－m，故(3)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )
A.12 B.24 C.64 D.81
解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为Aeq \\al(3,4)＝24.
答案 B
3.(选修2－3P26知识改编)计算Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(4,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,9)的值为________(用数字作答).
解析 原式＝Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,9)＝Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(6,9)＝Ceq \\al(6,10)＝Ceq \\al(4,10)＝210.
答案 210
4.(2019·济宁质检)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq \\al(3,4)＝4×3×2＝24.
答案 D
5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析 法一 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.
法二 从6人中任选3人，不同的选法有Ceq \\al(3,6)＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有Ceq \\al(3,4)＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.
答案 16
6.(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).
解析 若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3).综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝720＋540＝1 260.
答案 1 260
考点一 排列问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
解 (1)从7人中选5人排列，有Aeq \\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq \\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq \\al(4,4)种方法，共有Aeq \\al(3,7)·Aeq \\al(4,4)＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq \\al(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq \\al(4,4)种方法，共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(4,4)＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有Aeq \\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq \\al(3,5)种方法，共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)＝1 440(种).
(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq \\al(6,6)种排列方法，共有5×Aeq \\al(6,6)＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有Aeq \\al(2,6)种排法，其他有Aeq \\al(5,5)种排法，共有Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(5,5)＝3 600(种).
(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有Aeq \\al(6,6)种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有Aeq \\al(1,5)种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有Aeq \\al(1,5)种，其余人全排列，只有Aeq \\al(5,5)种不同排法，共有Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(5,5)＝3 720.
法二 (间接法)7名学生全排列，只有Aeq \\al(7,7)种方法，其中甲在最左边时，有Aeq \\al(6,6)种方法，乙在最右边时，有Aeq \\al(6,6)种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有Aeq \\al(5,5)种方法，故共有Aeq \\al(7,7)－2Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(5,5)＝3 720(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【训练1】 (2019·天津和平区二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )
A.120 B.240 C.360 D.480
解析 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
答案 C
考点二 组合问题
【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有Ceq \\al(2,34)＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有Ceq \\al(3,34)种或者Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(2,34)＝Ceq \\al(3,34)＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)种，选取3种假货有Ceq \\al(3,15)种，共有选取方式Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＋Ceq \\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为Ceq \\al(3,35)，选取3种假货有Ceq \\al(3,15)种，因此共有选取方式
Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【训练2】 (1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A.14 B.24 C.28 D.48
(2)(2019·杭州二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
解析 (1)法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为
Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(2,4)＝2×4＋1×6＝14.
法二 从4男2女中选4人共有Ceq \\al(4,6)种选法，4名都是男生的选法有Ceq \\al(4,4)种，故至少有1名女生的选派方案种数为Ceq \\al(4,6)－Ceq \\al(4,4)＝15－1＝14.
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,4)＝66(种).
答案 (1)A (2)D
考点三 分组、分配问题
【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
(2)(2019·西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A.80种 B.90种 C.120种 D.150种
(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )
A.24种 B.30种 C.48种 D.60种
解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq \\al(3,3)＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90种分派方法.
(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝90种分派方法；
另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有eq \f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有eq \f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))Aeq \\al(3,3)＝60种分派方法.
所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).
(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有Aeq \\al(2,2)＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有Aeq \\al(3,3)＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.
答案 (1)90 (2)D (3)C
规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数.
2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.
【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析 (1)先把4项工作分为2，1，1共3组，有eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))＝6种分法，再将3组对应3个志愿者，有Aeq \\al(3,3)＝6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6×6＝36种.
(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)Aeq \\al(2,4)＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为Aeq \\al(3,4)＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).
答案 (1)D (2)60
[思维升华]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
[易错防范]
1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.
2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
解析 末位数字排法有Aeq \\al(1,2)种，其他位置排法有Aeq \\al(3,4)种，共有Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(3,4)＝48(种).
答案 C
2.不等式Aeq \\al(x,8)