高考数学一轮复习　第九章 第2节

这是一份高考数学一轮复习　第九章 第2节，共20页。试卷主要包含了频率分布折线图和总体密度曲线，样本的数字特征，百分位数等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示eq \f(频率,组距)，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
2.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
3.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2].
4.百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
[微点提醒]
1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
3.中位数相当于第50百分位数.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )
(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
解析 (1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势.
(2)错误.方差越大，这组数据越离散.
(3)正确.小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率.
答案 (1)√ (2)× (3)√
2.(必修3P1002(1)改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
解析 设频数为n，则eq \f(n,32)＝0.25，∴n＝32×eq \f(1,4)＝8.
答案 B
3.(必修3P70示例改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87，89，90，91，92，93，94，96，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
解析 ∵这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，
∴中位数是eq \f(91＋92,2)＝91.5，
平均数eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.
答案 A
4.(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析 法一 设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的.
法二 因为0.64，s24，s2>2
解析 (1)刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.
(2)∵某7个数的平均数为4，
∴这7个数的和为4×7＝28，
∵加入一个新数据4，∴eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(28＋4,8)＝4.
又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，
∴这8个数的方差s2＝eq \f(7×2＋（4－4）2,8)＝eq \f(7,4)