高考数学一轮复习　第四章 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式

这是一份高考数学一轮复习　第四章 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式，共14页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，化简等内容，欢迎下载使用。


知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( )
解析 (1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝eq \f(1,3)，
当k为偶数时，sin α＝－eq \f(1,3).
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修4P21A12改编)已知tan α＝－3，则cs2α－sin2α＝( )
A.eq \f(4,5) B.－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D.－eq \f(3,5)
解析 由同角三角函数关系得
cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－9,1＋9)＝－eq \f(4,5).
答案 B
3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，则cs (π＋α)＝( )
A.－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
解析 因为α为锐角，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5)，
故cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(3,5).
答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A.－eq \f(7,9) B.－eq \f(2,9) C.eq \f(2,9) D.eq \f(7,9)
解析 ∵(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(7,9).
答案 A
5.(2019·济南质检)若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α＝( )
A.eq \f(12,5) B.－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D.－eq \f(5,12)
解析 ∵sin α＝－eq \f(5,13)，α为第四象限角，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13)，因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12).
答案 D
6.(2018·上海嘉定区月考)化简：eq \f(sin2(α＋π)·cs(π＋α)·cs(－α－2π),tan(π＋α)·sin3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·sin(－α－2π))＝________.
解析 原式＝eq \f(sin2α·(－cs α)·cs α,tan α·cs3α·(－sin α))＝eq \f(sin2αcs2α,sin2αcs2α)＝1.
答案 1
考点一 同角三角函数基本关系式 多维探究
角度1 公式的直接运用
【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sin α＝－eq \f(1,3)，则cs α＝( )
A.－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C.±eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2,3)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sin α＝－eq \f(1,3)>－eq \f(\r(2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))，所以α为第三象限角，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3).
答案 A
角度2 关于sin α，cs α的齐次式问题
【例1－2】 已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值.
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
解 由已知得tan α＝eq \f(1,2).
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
(2)sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq \f(13,5).
角度3 “sin α±cs α，sin αcs α”之间的关系
【例1－3】 已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝eq \f(1,5).
(1)求sin x－cs x的值；
(2)求eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)的值.
解 (1)由sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
所以(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25).
由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cs x>0，
所以cs x>0，则sin x－cs x<0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
(2)eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin x（cs x＋sin x）,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs x（cs x＋sin x）,cs x－sin x)＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
规律方法 1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcs α＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)<αA.－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C.－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
(2)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α的值是( )
A.eq \f(3,5) B.－eq \f(3,5) C.－3 D.3
解析 (1)∵eq \f(5π,4)<α∴cs α<0，sin α<0且cs α>sin α，
∴cs α－sin α>0.
又(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，
∴cs α－sin α＝eq \f(\r(3),2).
(2)由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，可得tan α＝2，
则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝cs2α＋sin αcs α＝eq \f(cs2α＋sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)＝eq \f(3,5).
答案 (1)B (2)A
考点二 诱导公式的应用
【例2】 (1)设f(α)＝eq \f(2sin（π＋α）cs（π－α）－cs（π＋α）,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)π))＝________.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))的值是________.
解析 (1)∵f(α)＝eq \f(（－2sin α）（－cs α）＋cs α,1＋sin2α＋sin α－cs2α)
＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cs α（1＋2sin α）,sin α（1＋2sin α）)＝eq \f(1,tan α)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)π))＝eq \f(1,tan \f(7,6)π)＝eq \f(1,tan \f(π,6))＝eq \r(3).
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝－a，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝a，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝－a＋a＝0.
答案 (1)eq \r(3) (2)0
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(\r(2),3)，则cs(π－2α)＝( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(5,9) C.－eq \f(2,9) D.－eq \f(5,9)
(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝eq \f(1,3)，则sin β＝________.
解析 (1)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(\r(2),3)，得sin α＝eq \f(\r(2),3).
∴cs(π－2α)＝－cs 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq \f(2,9)－1＝－eq \f(5,9).
(2)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝eq \f(1,3).
答案 (1)D (2)eq \f(1,3)
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，则tan(π＋2α)＝( )
A.eq \f(4\r(2),7) B.±eq \f(2\r(2),5) C.±eq \f(4\r(2),7) D.eq \f(2\r(2),5)
(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
解析 (1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，
∴cs α＝eq \f(1,3)，sin α＝－eq \f(2\r(2),3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2).
∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(－4\r(2),1－（－2\r(2)）2)＝eq \f(4\r(2),7).
(2)由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角).
答案 (1)A (2)C
(3)已知－π①求sin x－cs x的值；
②求eq \f(sin 2x＋2sin2 x,1－tan x)的值.
解 ①由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2 x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∵(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25)，
由－π又sin xcs x＝－eq \f(12,25)<0，
∴cs x>0，∴sin x－cs x<0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
②eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin x（cs x＋sin x）,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs x（cs x＋sin x）,cs x－sin x)
＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α互余等.
【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·tan α＝( )
A.－eq \f(12,13) B.－eq \f(5,13) C.eq \f(12,13) D.eq \f(5,13)
(2)已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
解析 (1)∵α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(5,13)，∴sin α＝eq \f(12,13)，
因此sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·tan α＝cs α·eq \f(sin α,cs α)＝sin α＝eq \f(12,13).
(2)由题意，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(4,3).
答案 (1)C (2)－eq \f(4,3)
[思维升华]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝eq \f(sin x,cs x)进行切化弦或弦化切，如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等类型可进行弦化切.
(2)和积转换法：如利用(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋eq \f(1,tan2θ))＝tan eq \f(π,4)等.
[易错防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.sin 600°的值为( )
A.－eq \f(1,2) B.－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).
答案 B
2.已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cs2α＝( )
A.eq \f(2,5) B.－eq \f(6,5) C.－eq \f(4,5) D.－eq \f(12,5)
解析 由题意知tan α＝2，
∴sin 2α－2cs2α＝eq \f(2sin αcs α－2cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α－2,tan2α＋1)＝eq \f(2,5).
答案 A
3.eq \r(1－2sin(π＋2)cs(π－2))＝( )
A.sin 2－cs 2 B.sin 2＋cs 2
C.±(sin 2－cs 2) D.cs 2－sin 2
解析 eq \r(1－2sin(π＋2)cs(π－2))＝eq \r(1－2sin 2cs 2)
＝eq \r((sin 2－cs 2)2)＝|sin 2－cs 2|＝sin 2－cs 2.
答案 A
4.已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|A.－eq \f(π,6) B.－eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
解析 ∵sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，
∴－sin θ＝－eq \r(3)cs θ，
∴tan θ＝eq \r(3)，∵|θ|＜eq \f(π,2)，∴θ＝eq \f(π,3).
答案 D
5.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.－eq \f(5,13) D.－eq \f(12,13)
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13).
答案 B
6.(2019·兰州质检)向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，且a∥b，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝( )
A.－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.－eq \f(\r(2),3) D.－eq \f(2\r(2),3)
解析 ∵a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，且a∥b，
∴eq \f(1,3)×1－tan αcs α＝0，∴sin α＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(1,3).
答案 A
7.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 020)的值为( )
A.－1 B.1 C.3 D.－3
解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcs(4π＋β)
＝asin α＋bcs β＝3，
∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcs(2 020π＋β)
＝asin α＋bcs β＝3.
答案 C
二、填空题
8.(2019·广东七校联考)已知sin α＝－eq \f(12,13)，且α为第三象限的角，则tan α＝________.
解析 ∵sin α＝－eq \f(12,13)，且α为第三象限的角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2 α)＝－eq \f(5,13)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(12,5).
答案 eq \f(12,5)
9.已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))＝________.
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝π，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
答案 －eq \f(\r(3),3)
10.已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为________.
解析 ∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18).
又∵(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
又∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).
答案 －eq \f(\r(2),3)
11.已知tan θ＝3，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋2θ))＝________.
解析 ∵tan θ＝3，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋2θ))＝sin 2θ＝eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(6,9＋1)＝eq \f(3,5).
答案 eq \f(3,5)
12.(2019·邯郸一模)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(tan α,tan β)＝________.
解析 由条件，得sin(α＋β)＝3sin(α－β)，
∴sin αcs β＝2cs αsin β，则tan α＝2tan β，
因此eq \f(tan α,tan β)＝2.
答案 2
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.若sin θ，cs θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A.1＋eq \r(5) B.1－eq \r(5)
C.1±eq \r(5) D.－1－eq \r(5)
解析 由题意知sin θ＋cs θ＝－eq \f(m,2)，sin θ·cs θ＝eq \f(m,4).
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ))eq \s\up6(2)＝1＋2sin θcs θ，
∴eq \f(m2,4)＝1＋eq \f(m,2)，解得m＝1±eq \r(5).
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq \r(5).
答案 B
14.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25).
∵0<α又∵sin2α＋cs2α＝1，∴sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).
答案 eq \f(3,5) eq \f(4,5)
15.已知k∈Z，化简：eq \f(sin（kπ－α）cs[（k－1）π－α],sin[（k＋1）π＋α]cs（kπ＋α）)＝________.
解析 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝eq \f(sin（2nπ－α）cs[（2n－1）π－α],sin[（2n＋1）π＋α]cs（2nπ＋α）)
＝eq \f(sin（－α）·cs（－π－α）,sin（π＋α）·csα)＝eq \f(－sin α（－cs α）,－sin α·cs α)＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝eq \f(sin[（2n＋1）π－α]·cs[（2n＋1－1）π－α],sin[（2n＋1＋1）π＋α]·cs[（2n＋1）π＋α])
＝eq \f(sin（π－α）·cs α,sin α·cs（π＋α）)＝eq \f(sin α·cs α,sin α（－cs α）)＝－1.
综上，原式＝－1.
答案 －1
16.是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β， ②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
∴sin2α＝eq \f(1,2)，∴sin α＝±eq \f(\r(2),2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件.
新高考创新预测
17.(多填题)已知sin α＝eq \f(\r(2),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cs(π－α)＝________，cs 2α＝________.
解析 cs(π－α)＝－cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(7),3)，cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),3)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,9).
答案 －eq \f(\r(7),3) eq \f(5,9)公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限