高考数学一轮复习　第四章 第6节正弦定理和余弦定理

这是一份高考数学一轮复习　第四章 第6节正弦定理和余弦定理，共16页。试卷主要包含了正、余弦定理等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
[微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，
由A∈(0，π)，得A＝eq \f(2π,3)，即∠BAC＝eq \f(2,3)π.
答案 C
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
4.(2018·烟台质检)已知△ABC中，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b等于( )
A.2 B.1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
解析 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin\f(π,6))＝eq \f(b,sin\f(π,4))，
∴eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(b,\f(\r(2),2))，∴b＝eq \r(2).
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D.2eq \r(5)
解析 由题意得cs C＝2cs2 eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，所以AB＝4eq \r(2).
答案 A
6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2eq \r(2)，cs A＝eq \f(3,4)，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________.
解析 由sin B＝2sin C，cs A＝eq \f(3,4)，A为△ABC一内角，
可得b＝2c，sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(7),4)，
∴由a2＝b2＋c2－2bccs A，
可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(7),4)＝eq \r(7).
答案 eq \r(7)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝________.
(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解析 (1)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq \f(\r(2),2)，
结合b