高考数学一轮复习　教材高考审题答题三

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[教材探究]1.(必修5P50例2)根据图2.4－2中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？
2.(必修5P69B6)已知数列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？
[试题评析] (1)题目以程序框图为载体给出递推数列{an}，其中a1＝1，an＝
eq \f(1,2)an－1(n>1).进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列{an}是等比数列.
(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bn＝an＋an－1(n≥2)，cn＝an－3an－1(n≥2)，利用等比数列定义不难得到{bn}，{cn}是等比数列，进而求出数列{an}的通项公式.
两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.
【教材拓展】 (2019·郑州模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).
因为a1＝5，a2＝5，
所以a2＋2a1＝15，
所以an＋2an－1≠0(n≥2)，
所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列.
(2)解 由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).
又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，
所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列.
所以an－3n＝2×(－2)n－1，
故an＝2×(－2)n－1＋3n.
【链接高考】 (2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式.
解 (1)由条件可得an＋1＝eq \f(2（n＋1）,n)an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：
由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
教你如何审题——等差与等比数列的综合问题
【例题】 (2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.
[审题路线]
[自主解答]
解 (1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0).
由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.
因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
所以Tn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
设等差数列{an}的公差为d.
由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.
由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，
故an＝n.
所以Sn＝eq \f(n（n＋1）,2).
(2)由(1)，有
T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n
＝eq \f(2×（1－2n）,1－2)－n＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn
可得eq \f(n（n＋1）,2)＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.
所以n的值为4.
探究提高 1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.
2.利用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.
3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.
【尝试训练】 (2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＝1，,q＝2.))
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
满分答题示范——数列的通项与求和
【例题】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n＋1)))的前n项和.
[规范解答]
[高考状元满分心得]
❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.
❷得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.
❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).
[构建模板]
【规范训练】 (2019·芜湖调研)已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2lg2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解 (1)设数列{an}的公比为q，
因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.
因为a3＋2是a2和a4的等差中项，
所以2(a3＋2)＝a2＋a4.
即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.
因为公比q≠0，所以q＝2.
所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).
(2)因为an＝2n，所以bn＝2lg2an－1＝2n－1，
所以anbn＝(2n－1)2n，
则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②
由①－②得，
－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1
＝2＋2×eq \f(4（1－2n－1）,1－2)－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.
1.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq \f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和.
解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝eq \f(1,3)，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝eq \f(bn,3)，
因此{bn}是首项为1，公比为eq \f(1,3)的等比数列.
记{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(n),1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2×3n－1).
2.已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，且an＋1＝eq \f(2an,2＋an).
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列；
(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)证明 易知an≠0，∵an＋1＝eq \f(2an,2＋an)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2＋an,2an)，∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，
又∵a1＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,a1)＝2，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以2为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知，eq \f(1,an)＝2＋eq \f(1,2)(n－1)＝eq \f(n＋3,2)，即an＝eq \f(2,n＋3)，
∴bn＝eq \f(4,（n＋3）（n＋4）)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋3)－\f(1,n＋4)))，
Sn＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,6)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋3)－\f(1,n＋4)))))
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,n＋4)))＝eq \f(n,n＋4).
3.(2019·长郡中学联考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3＋2.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))的前n项和为Sn，求证：Sn