高考数学一轮复习　教材高考审题答题二三角函数与解三角形热点

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[教材探究](必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)
题目9 已知函数y＝(sin x＋cs x)2＋2cs2x.
(1)求函数的递减区间；
(2)求函数的最大值和最小值.
题目10 已知函数f(x)＝cs4x－2sin xcs x－sin4 x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.
[试题评析] 两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.
【教材拓展】 已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性.
解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}，
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ(k∈Z).
设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z))))，易知A∩B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4))).
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减.
探究提高 1.将f(x)变形为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.
2.把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
【链接高考】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))，其中0＜ω＜3，已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))上的最小值.
解 (1)因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))，
所以f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin ωx－eq \f(1,2)cs ωx－cs ωx
＝eq \f(\r(3),2)sin ωx－eq \f(3,2)cs ωx＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin ωx－\f(\r(3),2)cs ωx))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3))).
由题设知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0，
所以eq \f(ωπ,6)－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，
故ω＝6k＋2(k∈Z).
又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
所以g(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以x－eq \f(π,12)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
当x－eq \f(π,12)＝－eq \f(π,3)，即x＝－eq \f(π,4)时，g(x)取得最小值－eq \f(3,2).
教你如何审题——三角变换、三角函数与平面向量的交汇
【例题】 (2019·青岛质检)已知向量m＝(2sin ωx，cs2ωx－sin2ωx)，n＝(eq \r(3)cs ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝eq \r(3)，sin B＝eq \r(3)sin A，求eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值.
[审题路线]
[自主解答]
解 (1)f(x)＝m·n＝2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋cs2ωx－sin2ωx＝eq \r(3)sin 2ωx＋cs 2ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6))).
因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝eq \f(2π,2|ω|)＝π.
又ω＞0，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
因为f(B)＝－2，所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,6)))＝－2，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,6)))＝－1，由于0