高考数学一轮复习　教材高考审题答题六

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[教材探究](必修3P70茎叶图)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.
绘制甲乙两名运动员得分的茎叶图，根据茎叶图判断哪名运动员的成绩更好？并说明理由.
[试题评析] 统计的基本思想是由样本来估计总体，根据茎叶图能够用样本的数字特征估计总体的数字特征，从而作出统计推断.
【教材拓展】 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，试分析甲乙两名同学哪个一个成绩较稳定.
解 根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，
故甲同学成绩的平均数为eq \f(78＋79＋80＋85＋85＋92＋96,7)＝85，
乙同学成绩的平均数为eq \f(72＋81＋81＋83＋91＋91＋96,7)＝85，
故甲同学成绩的方差为eq \f(1,7)×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，
乙同学成绩的方差为eq \f(1,7)×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝eq \f(398,7)>40，
故成绩较稳定的是甲.
【链接高考】 (2018·全国Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
解 (1)第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间eq \(x,\s\up6(－))1＝84.
第二种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间eq \(x,\s\up6(－))2＝74.7.
∴eq \(x,\s\up6(－))1>eq \(x,\s\up6(－))2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，
∴第二种生产方式的效率更高.
(2)由茎叶图数据得到m＝80.
由此填写列联表如下：
(3)根据(2)中的列联表计算.
K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq \f(40（15×15－5×5）2,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
教你如何审题——回归分析问题
【例题】 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))yi＝9.32，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))tiyi＝40.17，eq \r(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))（yi－\(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq \r(7)≈2.646.
参考公式：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（ti－\(t,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（yi－\(y,\s\up6(－))）2))，
回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（ti－\(t,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(t,\s\up6(－)).
[审题路线]
[自主解答]
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
eq \(t,\s\up6(－))＝4，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))(ti－eq \(t,\s\up6(－)))2＝28，eq \r(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))（yi－\(y,\s\up6(－))）2)＝0.55.
eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))tiyi－eq \(t,\s\up6(－))eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈eq \f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))（ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))（ti－\(t,\s\up6(－))）2)＝eq \f(2.89,28)≈0.10，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.
将2020年对应的t＝13代入回归方程得eq \(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×13＝2.22.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.22亿吨.
探究提高 在两个变量的回归分析中要注意以下两点：
(1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.
(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系.
【尝试训练】 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如表：
(1)在图中画出表中数据的散点图；
(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y与x的关系(不必说明理由)；
(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量.
参考公式：回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))（xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))xiyi－n\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
解 (1)作出的散点图如图：
(2)根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：
可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(5,2)，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(69,2)，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))xiyi－4\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))xeq \\al(2,i)－4\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(418－4×\f(5,2)×\f(69,2),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq \f(73,5)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(69,2)－eq \f(73,5)×eq \f(5,2)＝－2.
故回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(73,5)x－2.
(3)当x＝5时，eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(73,5)×5－2＝71.
故预测第5年的销售量大约为71万件.
满分答题示范——分布列、期望、方差问题
【例题】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
[规范解答]
[高考状元满分心得]
❶得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量X所有的可能取值，有则得1分，无则没有分；随机变量X的各个值对应的概率也是每个1分，列出其分布列是1分，每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此.
❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据n的范围求E(Y)，即当300≤n≤500时，E(Y)＝640－2n；当200≤n≤300时，E(Y)＝160＋1.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.
❸得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)问中三个概率值的计算要正确，否则不得分.
[构建模板]
【规范训练】 (2018·佛山模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是eq \f(2,3)，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
解 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)；P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,5)；
P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(0,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5).
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
E(ξ)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2.
设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3.
P(η＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)；
P(η＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(6,27)；
P(η＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(12,27)；
P(η＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27).
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
E(η)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(6,27)＋2×eq \f(12,27)＋3×eq \f(8,27)＝2.
(或因为η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，所以E(η)＝3×eq \f(2,3)＝2)
(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×eq \f(1,5)＋(2－2)2×eq \f(3,5)＋(3－2)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5)，D(η)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
所以D(ξ)