初中数学青岛版九年级上册3.3 圆周角教案

3.3圆周角

教学目标

【知识与能力】

1．理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同；

2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；

3．能灵活运用圆周角的性质解决问题；

4．使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理；

5．使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．

【过程与方法】

经历由特殊到一般的认识过程，体会转化、分类、归纳的数学思想．

【情感态度价值观】

形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

教学重难点

【教学重点】

1．圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．

2．圆内接四边形的性质定理．

【教学难点】  

1．发现并证明圆周角定理．

2．理解“内对角”这一重点词语的意思．

课前准备

多媒体课件

教学过程

一．创设情景

如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？

二．认识圆周角．

1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？

2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．(注意两点：1．角的顶点在圆上；2．角的两边都与圆相交，二者缺一不可．)

3．辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解．

4．圆周角与圆心角的联系和区别是什么？

三．探究圆周角的性质及推论．

探究一：

1．问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？

2．学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．如下图

3．问题：在第一种情况中，如何证明上面探究中所发现的结论呢？另外两种情况如何证明呢？

归纳得：

推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.

例1、    如教材84页图3-26，在⊙O中，∠AOB=110°，点C在上.求∠ACB的度数.

探究二：

在下图中，同弧所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想．同弧所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想．

推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

探究三：

如图所示图中，∠AOB=180°，则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可用圆周角定理说明．)

推论3:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

例2：如书本图3-29页，△ABC内接于⊙O，A为劣弧弧BC的中点，∠BAC=120°.过点B作⊙O的直径BD，连接AD.若AD=6，求AC的长.

例3：如书本86页图3-30，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心.△ADC与△ABE相似吗？说明理由.

探究四：

（1）回顾1．什么叫圆内接三角形？2．什么叫做三角形的外接圆？

通过学生复习圆内接三角形的定义后，引导学生来模仿圆内接三形的定义，来给圆内接多边形下定义，再由一般圆内接多边形的定义归纳出圆内接四边形的概念．

概念：所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆

（2）接下来引导学生观察圆内接四边形对角之间有什么关系？

学生一边观察，教师一边点拨．从观察中让学生首先知道圆内接四边形的对角是圆周角，由圆周角性质定理可知一条弧所对的圆周角等于它们对的圆心角的一半．

如何建立圆周角与圆心角的联系呢？由学生联想到了构造圆心角，从而得到对角互补这一结论．

由学生自己通过观察、探索得到圆内接四边形的性质．

定理：圆的内接四边形的对角互补．

例4：如书本88页图3-33，四边形ABCD内接于⊙O已知∠BOD=140°，求∠C的度数.

例5：在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是2:3:6，求这个四边形各角的度数.

解：设∠A、∠B、∠C的度数分别等于2x°、3x°、6x°.

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

∵2x+6x=180，

∴x=22.5.

∴∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°.

四．小结：

本节课你认识了什么？掌握了哪些定理？有什么收获？