专题1.3 平行四边形章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

这是一份专题1.3 平行四边形章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版），共18页。

专题1.3 平行四边形章末重难点题型
【人教版】



【考点1 平行四边形性质的运用】
【方法点拨】平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等；②角：平行四边形的对角相等；③对角
线：平行四边形的对角线互相平分．
【例1】（2020春•水磨沟区校级期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，∠BCD的平分线交AD于点F，BC＝5，AB＝3，则EF长　 　．

【变式1-1】（2020春•陇西县期末）如图，平行四边形ABCD的周长是52cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多6cm，则AE的长度为　 　．

【变式1-2】（2020春•姑苏区期中）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是40cm，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．40cm B．60cm C．70cm D．80cm
【变式1-3】（2020春•奉化区期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB=12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE=14BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【考点2 平行四边形的判定与性质】
【方法点拨】平行四边形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及
它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、
两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边
形是平行四边形达到上述目的．
【例2】（2020春•扬中市期中）在平行四边形ABCD中，在对角线BD上取不同的两点E，F（点B、E、F、D依次排列），下列条件中，能得出四边形AECF一定为平行四边形的是　 　.（填序号）
①BE＝DF；②AE＝CF；③AE∥CF；④∠BAE＝∠DCF．
【变式2-1】（2020秋•锦江区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：BM＝DN；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．

【变式2-2】（2020春•柯桥区期中）如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF交BD于G，连接OE．
（1）证明：四边形COEF是平行四边形；
（2）点G是哪些线段的中点，写出结论，并选择一组给出证明．

【变式2-3】（2020秋•香坊区月考）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．

【考点3 三角形中位线定理的运用】
【方法点拨】掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【例3】（2020春•无锡期中）如图，在△ABC中，BC＝12，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝1，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（　　）

A．10 B．12 C．13 D．14
【变式3-1】（2020春•鄞州区期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B．34 C．12 D．23
【变式3-2】（2020春•昆山市期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝10°，∠ACB＝66°，则∠FEG等于（　　）

A．76° B．56° C．38° D．28°
【变式3-3】（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．

【考点4 菱形的性质】
【方法点拨】掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角．
【例4】（2020春•德城区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝33°，则∠OBC的度数为（　　）

A．33° B．57° C．59° D．66°
【变式4-1】（2020•兴文县模拟）如图，在菱形ABCD中，若∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE＝AF，则∠AEC+∠AFC的度数等于（　　）

A．120° B．140° C．160° D．180°
【变式4-2】（2020•雁塔区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，过BD的中点O作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，连接DF，则DF的长度为（　　）

A．125 B．245 C．855 D．8135
【变式4-3】（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B．245 C．6 D．485
【考点5 菱形的判定与性质（计算与证明）】
【例5】（2020春•海淀区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．

【变式5-1】（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

【变式5-2】（2020春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．

【变式5-3】（2020春•雨花区校级期末）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）求证：四边形CDMN为菱形；
（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．

【考点6 矩形的性质】
【方法点拨】掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
【例6】（2020春•长春期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-1】（2020春•高淳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE＝EO，则AD的长是（　　）

A．62 B．23 C．32 D．25
【变式6-2】（2020春•汝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝（　　）

A．18° B．36° C．27° D．54°
【变式6-3】（2020春•新城区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（　　）

A．43° B．34° C．33° D．19°
【考点7 直角三角形斜边上的中线应用】
【方法点拨】掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【例7】（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（　　）

A．10° B．12° C．15° D．18°
【变式7-1】（2020•亳州二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC＝α，则（　　）

A．∠EOF=32α B．∠EOF＝2α
C．∠EOF＝180°﹣α D．∠EOF＝180°﹣2α
【变式7-2】（2020•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　）

A．19° B．33° C．34° D．43°
【变式7-3】（2020•萧山区一模）如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为　 　．

【考点8 矩形的判定与性质（计算与证明）】
【方法点拨】矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.
【例8】（2020春•遂宁期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．

【变式8-1】（2020春•新邵县期末）如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：四边形CEAF是矩形；
（2）若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四边形ABCF的面积．

【变式8-2】（2020春•无锡期末）如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．

【变式8-3】（2020•开福区模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求△OEC的面积．

【考点9 正方形的性质】
【方法点拨】掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【例9】（2020春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，连结DE，当∠ADE＝22.5°时，EF的长是（　　）

A．1 B．22−2 C．2−1 D．14
【变式9-1】（2020春•金寨县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式9-2】（2020春•江岸区期末）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G．若BC＝4，AF＝1，则CE的长为（　　）

A．3 B．125 C．195 D．165
【变式9-3】（2020春•自贡期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝25，且∠ECF＝45°，则CF的长为（　　）

A．4103 B．5103 C．210 D．7103
【考点10 正方形的判定与性质（计算与证明）】
【例10】（2020春•历下区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

【变式10-1】（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．

【变式10-2】（2019春•安庆期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【变式10-3】（2019春•内黄县期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝22，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．

【考点11 中点四边形】
【例11】（2020春•樊城区校级月考）如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（　　）

A．当∠ABC＝90°时，四边形MNPQ为正方形
B．当AC＝BD时，四边形MNPQ为菱形
C．当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形
D．四边形MNPQ一定为平行四边形
【变式11-1】（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件　 　时，四边形EGFH是菱形；
②当AB与CD满足条件　 　时，四边形EGFH是矩形．

【变式11-2】（2020春•相城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是线段BC、AD、OB、OD的中点，连接EH、HF、FG、GE．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当EF和BD满足条件　 　时，四边形GEHF是矩形；
（3）当EF和BD满足条件　 　时，四边形GEHF是菱形．

【变式11-3】（2020•通州区一模）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是　 　．

【考点12 四边形的判定（动点问题）】
【例12】（2020春•阳西县期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形；
②若AM＝6，求证：四边形AMDN是菱形．

【变式12-1】（2020春•蚌埠期末）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

【变式12-2】（2019春•高邑县期末）如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是　 　；
（2）t＝　 　时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．

【变式12-3】（2019春•西湖区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝32cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）
（1）求BC边上高AE的长度；
（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．

【考点13 四边形中的最值问题】
【例13】（2019•邹平县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是　 　．

【变式13-1】（2020春•硚口区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．22
【变式13-2】（2020春•宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）

A．12 B．20 C．48 D．80
【变式13-3】（2019•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）

A．5 B．7 C．72 D．722
【考点14 四边形综合（旋转问题）】
【例14】（2020春•香坊区校级月考）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE＝EF，过D作DG⊥EF于点H，交AB边于点G．
（1）如图1，求证：DE＝DG；
（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括EG）．

【变式14-1】（2020•广东模拟）如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．
（1）求证：△ABG≌△ADF；
（2）求证：AG⊥AF；
（3）当EF＝BE+DF时：
①求m的值；
②若F是CD的中点，求BE的长．

【变式14-2】（2019•麒麟区模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

【变式14-3】（2020•龙岗区校级模拟）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及PGPC的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．