还剩20页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版八年级下册章末重难点题型复习
成套系列资料，整套一键下载
专题1.4 一次函数章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）
展开
这是一份专题1.4 一次函数章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版），共23页。
专题1.4 一次函数章末重难点题型
【人教版】
【考点1 函数的概念】
【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
【例1】（2020春•常德期末）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2019春•无棣县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2019春•微山县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A．
x
1
2
3
4
y
2
6
8
10
B．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
10
C．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
8
D．
x
1
2
3
y
2
6
8
10
【变式1-3】（2019秋•东海县期末）变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1x D．x=12y4
【考点2 函数自变量的取值范围】
【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例2】（2020春•海淀区校级期中）下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A．y=12x−1（x≠12） B．y=1−x（x≤1）
C．y＝x2﹣1（x为任意实数） D．y=1x−1（x≥1）
【变式2-1】（2020秋•长安区校级月考）在函数y=x+4+x﹣2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4 B．x≠0 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞﹣4且x≠0
【变式2-2】（2020•黄石）函数y=1x−3+x−2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x＞2，且x≠3
【变式2-3】（2020•阳新县模拟）函数y=11−3x+（x+2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞13 B．x＜13 C．x＜13且x≠﹣2 D．x≠13
【考点3 函数图象的识别】
【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
【例3】（2020春•沙河口区期末）一天早上小明步行上学，他离开家后不远便发现有东西忘在了家里，马上以相同的速度回家去拿，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，为了不迟到，小明跑步到了学校，则小明离学校的距离y与离家的时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2020春•武侯区期末）成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，体息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2020春•揭阳期中）小明观看了《中国诗闻大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2020春•文圣区期末）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【考点4 通过函数图象获取信息】
【方法点拨】理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【例4】（2020春•长葛市期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
【变式4-1】（2020春•门头沟区期末）甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【变式4-2】（2020春•莘县期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有 （在横线上填写正确的序号）．
【变式4-3】（2019春•九龙坡区校级期中）重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过 分钟两人再次相距80米．
【考点5 动点问题的函数图象】
【例5】（2020春•青岛期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．20 D．48
【变式5-1】（2020春•芝罘区期末）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．13 B．17 C．18 D．26
【变式5-2】（2020•河南二模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7 B．6 C．132 D．112
【变式5-3】（2020春•自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点6 一次函数的定义】
【方法点拨】一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
【例6】（2020秋•长清区校级月考）下列函数中，是一次函数的是 ，是正比例函数的是 ．（填序号）
（1）y=−x2；（2）y=−2x；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x−12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．
【变式6-1】（2019春•偃师市期中）已知函数y＝（m+b）x+m﹣2，当m 时，是一次函数；当m 时，是正比例函数．
【变式6-2】（2020春•金山区期中）若函数y＝（m﹣2）xm2−3+2是一次函数，那么m＝ ．
【变式6-3】（2020春•丛台区校级期中）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+5是y关于x的一次函数，则m＝ ．
【考点7 一次函数的图象】
【方法点拨】一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例7】（2020春•九龙坡区校级期末）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝kbx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2020春•孝义市期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2020秋•西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点8 一次函数的性质】
【例8】（2020秋•句容市月考）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1，当m为何值时，
（1）y随x的增大而增大？
（2）图象经过第一、二、四象限？
（3）图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）经过直角坐标系原点？此时图象经过那个象限？
【变式8-1】（2020秋•吴江区期末）已知关于x的一次函数y＝mx+4m﹣2．
（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围；
（3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标．
【变式8-2】（2020秋•南明区校级期中）已知一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：
（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m，n分别取何值时，函数图象经过原点；
（4）m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．
【变式8-3】（2019秋•安徽月考）已知一次函数y＝（1﹣3m）x+m﹣4，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【考点9 一次函数图象上点的坐标特征】
【例9】（2020春•高州市期中）已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【变式9-1】（2020春•老河口市期末）若正比例函数y＝（2﹣3m）x的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞23 C．m＜23 D．m＜0
【变式9-2】（2020春•黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x2
【变式9-3】（2020春•青川县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四点在直线y＝kx+4的图象上，且x1＞x2＞x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞2y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【考点10 一次函数图象与几何变换】
【方法点拨】解决此类问题的关键是记住一次函数图象平移的口诀：上加下减，左加右减，并且一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是关键.
【例10】（2020•莲湖区模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【变式10-1】（2020•陕西四模）直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【变式10-2】（2020春•碑林区校级期末）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【变式10-3】（2020•海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8
【考点11 一次函数解析式】
【方法点拨】待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【例11】（2019秋•建湖县期末）已知：y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；
（1）求y与x之间的函数表达式
（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【变式11-1】（2020春•赫山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+b（k≠0经过点A（﹣4，0），与y轴交于点B，如果△AOB的面积为4，求直线l的表达式．
【变式11-2】（2020春•齐齐哈尔期末）某一次函数，当其自变量x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1，它对应的函数值y的取值范围是4≤y≤6，求这个一次函数解析式？
【变式11-3】（2020春•桥东区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=−12x+2 B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16 D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4
【考点12 一次函数与一元一次方程】
【方法点拨】一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【例12】（2020春•香坊区期末）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为 ．
【变式12-1】（2019秋•常州期末）如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y=13x的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k−13）x＝b的解x＝ ．
【变式12-2】（2020•吴江区二模）若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（ ）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5
【变式12-3】（2020•南安市校级自主招生）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【考点13 一次函数与一元一次不等式】
【方法点拨】一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【例13】（2020春•寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【变式13-1】（2020•徐州一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜a+b D．x＞a﹣b
【变式13-2】（2019秋•南浔区期末）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
【变式13-3】（2020春•东昌府区期末）如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【考点14 一次函数的应用（方案选择问题）】
【例14】（2019秋•宿松县校级期末）2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．
（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．
（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．
【变式14-1】（2020春•河北期末）甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元．
（1）求y1、y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客你会如何选择采摘园？
【变式14-2】（2020•陕西四模）习近平在决战决胜脱贫攻坚座谈会上强调：坚决克服新冠肺炎疫情影响，坚决夺取脱贫攻坚战全面胜利.2020年是脱贫攻坚战最后一年，收官之年又遭遇疫情影响，各项工作任务更重，要求更高．某地的苹果产业成为该地农民打赢脱贫攻坚战的利器，已知该地有甲、乙两个苹果园，盛产的苹果品质相同，现两个苹果园推出了不同的销售方案，甲苹果园：不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg；乙苹果园：一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg，超过50kg，则超出部分的价格按5元/kg计．设某水果店在同一个苹果园一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（1）设在甲苹果园花费y1元，在乙苹果园花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）若该水果店计划用360元来购进苹果，则它在甲、乙哪个苹果园中购买苹果的数量较多？
【变式14-3】（2020春•陆川县期末）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在九洲江堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场
乙林场
购树苗数量
销售单价
购树苗数量
销售单价
不超过1000棵时
4元棵
不超过2000棵时
4元棵
超过1000棵的部分
3.8元棵
超过2000棵的部分
3.6元棵
购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）．
（1）该村需要购买1800棵白杨树苗，如果都在甲林场购买所需费用为 元，如果都在乙林场购买所需费用为 元；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
【考点15 一次函数的应用（最大利润问题）】
【例15】（2020春•裕华区校级期末）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，获利情况如表格所示．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台（能够全部售出），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
型号
每台获利（元）
A型
120
B型
140
（1）求y与x的关系式；
（2）若B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，则该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【变式15-1】（2020春•樊城区校级月考）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
【变式15-2】（2020•碑林区校级模拟）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
设备成本（万元/亩）
A
1.5
3.5
0.2
B
2
4.3
0.3
设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
【变式15-3】（2020春•永城市期末）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【考点16 一次函数的应用（调配问题）】
【例16】（2020春•南岗区校级月考）A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥．
（1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
（2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【变式16-1】（2020春•海勃湾区期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液广宁需要6吨，怀柔需要8吨，正好端州储备有10吨，四会储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往广宁和怀柔，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）设从端州调运x吨到广宁．
起点\终点
广宁
怀柔
端州
60
100
四会
35
70
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？
【变式16-2】（2020春•舒兰市期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援．当吉林市疫情严重时，急需大量医疗防护物资．现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t．现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t．现C市需要物资240t，D市需要物资260t．若设从A城往C市运xt．请回答下列问题：
（1）用含x的式子表示从A往D市运物资的数量为t，从B往C市运物资的数量为t，从B往D市运物资的数量为t（写化简后的式子）．
（2）求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
【变式16-3】（2020春•防城港期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．
终点
起点
甲城
乙城
A地
100
120
B地
110
95
（1）根据题意，应从B地调运 吨消毒液给甲城，从B地调运 吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）
（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．
【考点17 一次函数的应用（行程问题）】
【例17】（2020春•历下区期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是 千米/小时，出租车的速度是 千米小时；
（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式；
（3）求两车相遇的时间．
【变式17-1】（2020春•海珠区期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
【变式17-2】（2020春•双流区期末）某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达最点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的图象如图所示：
（1）甲步行的速度为 米/分，乙步行时的速度为 米/分；
（2）分别写出甲游客从景点A出发步行到景点C和乙游客乘景区观光车时y与x之间的关系式；
（3）问乙出发多长时间与甲在途中相遇？
【变式17-3】（2020•鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【考点18 一次函数的综合应用】
【例18】（2020•河北模拟）如图，直线l1的解析式为y=12x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-1】（2020春•洛阳期末）如图，一次函数y1=54x+n与x轴交于点B，一次函数y2=−34x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，−74）．
（1）则点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞125，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
【变式18-2】（2020春•柳州期末）如图，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ．
（2）求证△ABC是等腰直角三角形．
（3）若直线AC交x轴于点M，点P（−52，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-3】（2019秋•南浔区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．
专题1.4 一次函数章末重难点题型
【人教版】
【考点1 函数的概念】
【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
【例1】（2020春•常德期末）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2019春•无棣县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2019春•微山县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A．
x
1
2
3
4
y
2
6
8
10
B．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
10
C．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
8
D．
x
1
2
3
y
2
6
8
10
【变式1-3】（2019秋•东海县期末）变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1x D．x=12y4
【考点2 函数自变量的取值范围】
【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例2】（2020春•海淀区校级期中）下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A．y=12x−1（x≠12） B．y=1−x（x≤1）
C．y＝x2﹣1（x为任意实数） D．y=1x−1（x≥1）
【变式2-1】（2020秋•长安区校级月考）在函数y=x+4+x﹣2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4 B．x≠0 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞﹣4且x≠0
【变式2-2】（2020•黄石）函数y=1x−3+x−2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x＞2，且x≠3
【变式2-3】（2020•阳新县模拟）函数y=11−3x+（x+2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞13 B．x＜13 C．x＜13且x≠﹣2 D．x≠13
【考点3 函数图象的识别】
【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
【例3】（2020春•沙河口区期末）一天早上小明步行上学，他离开家后不远便发现有东西忘在了家里，马上以相同的速度回家去拿，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，为了不迟到，小明跑步到了学校，则小明离学校的距离y与离家的时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2020春•武侯区期末）成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，体息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2020春•揭阳期中）小明观看了《中国诗闻大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2020春•文圣区期末）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【考点4 通过函数图象获取信息】
【方法点拨】理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【例4】（2020春•长葛市期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
【变式4-1】（2020春•门头沟区期末）甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【变式4-2】（2020春•莘县期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有 （在横线上填写正确的序号）．
【变式4-3】（2019春•九龙坡区校级期中）重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过 分钟两人再次相距80米．
【考点5 动点问题的函数图象】
【例5】（2020春•青岛期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．20 D．48
【变式5-1】（2020春•芝罘区期末）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．13 B．17 C．18 D．26
【变式5-2】（2020•河南二模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7 B．6 C．132 D．112
【变式5-3】（2020春•自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点6 一次函数的定义】
【方法点拨】一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
【例6】（2020秋•长清区校级月考）下列函数中，是一次函数的是 ，是正比例函数的是 ．（填序号）
（1）y=−x2；（2）y=−2x；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x−12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．
【变式6-1】（2019春•偃师市期中）已知函数y＝（m+b）x+m﹣2，当m 时，是一次函数；当m 时，是正比例函数．
【变式6-2】（2020春•金山区期中）若函数y＝（m﹣2）xm2−3+2是一次函数，那么m＝ ．
【变式6-3】（2020春•丛台区校级期中）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+5是y关于x的一次函数，则m＝ ．
【考点7 一次函数的图象】
【方法点拨】一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例7】（2020春•九龙坡区校级期末）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝kbx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2020春•孝义市期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2020秋•西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点8 一次函数的性质】
【例8】（2020秋•句容市月考）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1，当m为何值时，
（1）y随x的增大而增大？
（2）图象经过第一、二、四象限？
（3）图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）经过直角坐标系原点？此时图象经过那个象限？
【变式8-1】（2020秋•吴江区期末）已知关于x的一次函数y＝mx+4m﹣2．
（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围；
（3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标．
【变式8-2】（2020秋•南明区校级期中）已知一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：
（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m，n分别取何值时，函数图象经过原点；
（4）m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．
【变式8-3】（2019秋•安徽月考）已知一次函数y＝（1﹣3m）x+m﹣4，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【考点9 一次函数图象上点的坐标特征】
【例9】（2020春•高州市期中）已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【变式9-1】（2020春•老河口市期末）若正比例函数y＝（2﹣3m）x的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞23 C．m＜23 D．m＜0
【变式9-2】（2020春•黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x2
【变式9-3】（2020春•青川县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四点在直线y＝kx+4的图象上，且x1＞x2＞x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞2y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【考点10 一次函数图象与几何变换】
【方法点拨】解决此类问题的关键是记住一次函数图象平移的口诀：上加下减，左加右减，并且一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是关键.
【例10】（2020•莲湖区模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【变式10-1】（2020•陕西四模）直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【变式10-2】（2020春•碑林区校级期末）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【变式10-3】（2020•海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8
【考点11 一次函数解析式】
【方法点拨】待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【例11】（2019秋•建湖县期末）已知：y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；
（1）求y与x之间的函数表达式
（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【变式11-1】（2020春•赫山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+b（k≠0经过点A（﹣4，0），与y轴交于点B，如果△AOB的面积为4，求直线l的表达式．
【变式11-2】（2020春•齐齐哈尔期末）某一次函数，当其自变量x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1，它对应的函数值y的取值范围是4≤y≤6，求这个一次函数解析式？
【变式11-3】（2020春•桥东区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=−12x+2 B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16 D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4
【考点12 一次函数与一元一次方程】
【方法点拨】一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【例12】（2020春•香坊区期末）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为 ．
【变式12-1】（2019秋•常州期末）如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y=13x的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k−13）x＝b的解x＝ ．
【变式12-2】（2020•吴江区二模）若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（ ）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5
【变式12-3】（2020•南安市校级自主招生）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【考点13 一次函数与一元一次不等式】
【方法点拨】一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【例13】（2020春•寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【变式13-1】（2020•徐州一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜a+b D．x＞a﹣b
【变式13-2】（2019秋•南浔区期末）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
【变式13-3】（2020春•东昌府区期末）如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【考点14 一次函数的应用（方案选择问题）】
【例14】（2019秋•宿松县校级期末）2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．
（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．
（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．
【变式14-1】（2020春•河北期末）甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元．
（1）求y1、y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客你会如何选择采摘园？
【变式14-2】（2020•陕西四模）习近平在决战决胜脱贫攻坚座谈会上强调：坚决克服新冠肺炎疫情影响，坚决夺取脱贫攻坚战全面胜利.2020年是脱贫攻坚战最后一年，收官之年又遭遇疫情影响，各项工作任务更重，要求更高．某地的苹果产业成为该地农民打赢脱贫攻坚战的利器，已知该地有甲、乙两个苹果园，盛产的苹果品质相同，现两个苹果园推出了不同的销售方案，甲苹果园：不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg；乙苹果园：一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg，超过50kg，则超出部分的价格按5元/kg计．设某水果店在同一个苹果园一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（1）设在甲苹果园花费y1元，在乙苹果园花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）若该水果店计划用360元来购进苹果，则它在甲、乙哪个苹果园中购买苹果的数量较多？
【变式14-3】（2020春•陆川县期末）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在九洲江堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场
乙林场
购树苗数量
销售单价
购树苗数量
销售单价
不超过1000棵时
4元棵
不超过2000棵时
4元棵
超过1000棵的部分
3.8元棵
超过2000棵的部分
3.6元棵
购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）．
（1）该村需要购买1800棵白杨树苗，如果都在甲林场购买所需费用为 元，如果都在乙林场购买所需费用为 元；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
【考点15 一次函数的应用（最大利润问题）】
【例15】（2020春•裕华区校级期末）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，获利情况如表格所示．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台（能够全部售出），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
型号
每台获利（元）
A型
120
B型
140
（1）求y与x的关系式；
（2）若B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，则该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【变式15-1】（2020春•樊城区校级月考）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
【变式15-2】（2020•碑林区校级模拟）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
设备成本（万元/亩）
A
1.5
3.5
0.2
B
2
4.3
0.3
设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
【变式15-3】（2020春•永城市期末）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【考点16 一次函数的应用（调配问题）】
【例16】（2020春•南岗区校级月考）A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥．
（1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
（2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【变式16-1】（2020春•海勃湾区期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液广宁需要6吨，怀柔需要8吨，正好端州储备有10吨，四会储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往广宁和怀柔，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）设从端州调运x吨到广宁．
起点\终点
广宁
怀柔
端州
60
100
四会
35
70
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？
【变式16-2】（2020春•舒兰市期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援．当吉林市疫情严重时，急需大量医疗防护物资．现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t．现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t．现C市需要物资240t，D市需要物资260t．若设从A城往C市运xt．请回答下列问题：
（1）用含x的式子表示从A往D市运物资的数量为t，从B往C市运物资的数量为t，从B往D市运物资的数量为t（写化简后的式子）．
（2）求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
【变式16-3】（2020春•防城港期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．
终点
起点
甲城
乙城
A地
100
120
B地
110
95
（1）根据题意，应从B地调运 吨消毒液给甲城，从B地调运 吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）
（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．
【考点17 一次函数的应用（行程问题）】
【例17】（2020春•历下区期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是 千米/小时，出租车的速度是 千米小时；
（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式；
（3）求两车相遇的时间．
【变式17-1】（2020春•海珠区期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
【变式17-2】（2020春•双流区期末）某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达最点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的图象如图所示：
（1）甲步行的速度为 米/分，乙步行时的速度为 米/分；
（2）分别写出甲游客从景点A出发步行到景点C和乙游客乘景区观光车时y与x之间的关系式；
（3）问乙出发多长时间与甲在途中相遇？
【变式17-3】（2020•鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【考点18 一次函数的综合应用】
【例18】（2020•河北模拟）如图，直线l1的解析式为y=12x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-1】（2020春•洛阳期末）如图，一次函数y1=54x+n与x轴交于点B，一次函数y2=−34x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，−74）．
（1）则点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞125，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
【变式18-2】（2020春•柳州期末）如图，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ．
（2）求证△ABC是等腰直角三角形．
（3）若直线AC交x轴于点M，点P（−52，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-3】（2019秋•南浔区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．
相关试卷
沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.4 四边形章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）： 这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.4 四边形章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共95页。
专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）： 这是一份专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版），共10页。
专题1.5 数据的分析初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）： 这是一份专题1.5 数据的分析初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版），共13页。
