最值问题（初二下，含解析）

这是一份最值问题（初二下，含解析），文件包含第2课认识其他动物的卵pptx、第2课认识其他动物的卵docx、不同动物的卵mp4、给不同动物的卵分类mp4、观察鸡蛋的内部结构mp4等5份课件配套教学资源，其中PPT共25页， 欢迎下载使用。主要包含了垂线段最短找最值，三角形三边关系找最值，最短路径问题找最值等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值是______．
2．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为______．
3．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为__________．
二、三角形三边关系找最值
4．如图，点P为正方形内一点，已知正方形的边长为2，且有，则的最小值为（ ）．
A．1B．C．D．
5．如图，在中，，，，将绕点旋转，得到，点的对应点为，为的中点，连接．在旋转的过程中，线段长度的最大值为__________．
6．如图，点为线段外一动点，，，分别以、为边作等边、等边，连接．则线段长的最大值为______．
7．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．
三、最短路径问题找最值（两点一线，一点两线，两点两线，造桥选址）
8．已知：如图，AD是等边△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上一点，E为AC中点，连接PC，PE，若AB＝6，则PC+PE的最小值是_____．
9．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为_____________．
10．如图，在菱形中，，，点P，M分别是边和对角线上的动点，则的最小值为_________．
11．如图，在中，， ．分别是上的任意一点，求的最小值为（ ）
A．1.5B．2C． D．
12．如图，等腰的底边BC=20，面积为120，点D在BC边上，且CD=5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则∆CDM周长的最小值为______．
13．如图，内有一定点P，且，在上有一动点Q，上有一动点R，若周长最小，则最小周长是___________．

14．如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 ________ .
15．如图，已知△ABC．∠ACB=30°，CP为∠ACB的平分线，且CP=6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为____．
16．如图，中，，，，若点、、分别是三边、、上的动点，则周长的最小值为______．
17．如图，点A(4，2)，点B(1，6)在第一象限，在x轴、y轴上是否存在点D，点C，使得四边形ABCD的周长最小？若存在，请画出草图，并求其最小周长；若不存在，请说明理由．
18．如图，在矩形中，，，点、分别是、上的点，且，若、分别是、边上的动点，求四边形周长的最小值．
19．如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
20．如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D(0，2)，点F(1，0)，线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A(﹣1，5)，点B(﹣1，﹣1)，点C(6，﹣1)，连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为_____；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为_____．
胡不归
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
21．如图，点为直线外一点，点是直线上一定点，点是直线上一动点，连接，，若要使的值最小，确定点的位置，并说明理由．
22．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．
23．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__．
24．在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，P是AB边上一动点，则PC+AP的最小值为_______．
25．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
26．如图，四边形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝45°，E是BD上一点，若∠ABD＝15°，则AE+BE的最小值为_____．
27．如图，在面积为3的△ABC中，AB=3，∠BAC=45°，点D是BC边上一点．
（1）若AD是BC边上的中线，求AD的长；
（2）点D关于直线AB和AC的对称点分别为点M、N，求AN的长度的最小值；
（3）若P是△ABC内的一点，求的最小值．
参考答案
1．
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，在Rt△ABC中，，，则BC=10，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，EF，AP为两条对角线，
∴EF=AP，
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC=BC•AP＝AB•AC，
∴×10AP＝×6×8，
∴AP最短时，AP=，
∴当AM最短时，AM=AP=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
2．
【分析】
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】
连接AP，

∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故答案为：2.4
【点睛】
此题考查矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解题的关键是确定出何时，EF最短．
3．
【分析】
根据平行四边形的性质得到EG，FG，根据垂线段最短得到EG⊥CD时取最小值，过点C作CH⊥AB于点H，求出CH的长度，从而得到结果．
【详解】
解：∵四边形EDGC是平行四边形，
∴EF=FG，
∴当EF⊥CD时，EF最小，此时EG最小，
过点C作CH⊥AB于点H，则CH=EF，
∵∠B=60°，
∴∠BCH=30°，
∵BC=8，
∴BH=4，
∴CH==，
∴EF的最小值为，
∴EG的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件．
4．C
【分析】
取AD中点E，连接PE、BE，当P、E、B三点共线时，最小，求出BE、PE即可．
【详解】
解：取AD中点E，连接PE、BE，
∵正方形的边长为2，
∴PE=AE=1，
，
∵，
当P、E、B三点共线时，最小，最小值为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形中线段最短问题，解题关键是确定点P的运动轨迹，明确BP长取值范围．
5．
【分析】
连接CP，当点B、C、P三点共线时，BP最长，根据已知条件求出此时的BP的长.
【详解】
∵，，，
∴AB= ，
由旋转得=AB=10，
∵中点为，
∴=5，
连接CP，当旋转到点B、C、P三点共线时，BP最长，
∴BP=CB+PC=6+5=11，
故答案为: 11
【点睛】
此题考查直角三角形的性质，旋转的性质，解题中首先确定解题思路，根据旋转得到BP的最大值即是CB+PC在进行求值，确定思路是解题的关键.
6．5
【分析】
连接CE,根据等边三角形的性质得到AE＝AB，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，再利用SAS推出△BAD≌△EAC，由全等三角形的性质得到BD＝EC，由于线段BD长的最大值＝线段EC的最大值，即可得到结果．
【详解】
解：连接CE，
∵△ACD与△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAD＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，
即∠BAD＝∠EAC，
在△BAD与△EAC中，
，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC；
∵线段BD长的最大值＝线段EC的最大值，
当线段EC的长取得最大值时，点E在CB的延长线上，且BC＝4，AB＝1，
∴线段BD长的最大值为BE＋BC＝AB＋BC＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．5．
【分析】
如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．得到△PCE是等边三角形，根据勾股定理得到PA= =5，如图2中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．得到△PAF是等边三角形，PM=NF，于是得到结论．
【详解】
如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．
则△PCE是等边三角形，∠AEC＝∠BPC＝150°，∠PEC＝60°，
∴∠AEP＝90°，
∵AE＝BP＝3，PC＝PE＝4，
∴PA＝＝5，
如图2中，如图1中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．
则△PAF是等边三角形，PM＝NF，
∴PF＝AP＝5，
∵PM+PN＝NF+NP≥PF，
∴PM+PN≥5，
∴PM+PN的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】
此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
8．
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，最后利用等边三角形的性质求解即可得．
【详解】
如图，连接，
是等边中的平分线，
垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，
是等边三角形，且，为的中点，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
9．6
【分析】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．
【详解】
解：连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值是解题的关键．
10．3
【分析】
连结CM，过C作CP′⊥AB于P′，四边形ABCD为菱形，点A与点C关于BD对称，AM=CM，可得PM+AM=PM+CM，当P、M、C三点在一直线且在CP′上时最短，可得PM+AM=PM+CM≥CP′，在菱形ABCD中，AD=6，BC=AD=6，在Rt△BCP′中，CP′=BC×sin∠P′BC=6×=3，可得AM+PM最小=CP′=3．
【详解】
解：如图，连结CM，过C作CP′⊥AB于P′，
∵四边形ABCD为菱形，
∴点A与点C关于BD对称，AM=CM，
∴PM+AM=PM+CM，
当P、M、C三点在一直线且在CP′上时最短，
∴PM+AM=PM+CM≥CP′，
∵在菱形ABCD中，AD=6，
∴BC=AD=6，
在Rt△BCP′中，，CP′=BC×sin∠P′BC=6×=3，
∴AM+PM最小=CP′=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，轴对称性质，锐角三角函数，点到直线的距离最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
11．A
【分析】
作关于的对称点，作于点，交于于点，则此时有最小值，且，利用直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：作关于的对称点，作于点，交于于点，
则此时有最小值，且，
，，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为1.5．
故选：A．
【点睛】
此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及轴对称的性质．注意准确找到，的位置是解此题的关键．
12．18
【分析】
作AH⊥BC于H，连接AM，由EF垂直平分线段AC，得出MA=MC，再得出DM+MC=AM+MD，当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，最小值就是线段AD的长，再利用勾股定理可求AD的长即可．
【详解】
如图，作AH⊥BC于H，连接AM，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA=MC，
∴DM+MC=AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，AH=，
∴DH=CH-CD=5，
∴，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值=13+5=18，
故答案为：18．
【点睛】
考查了轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会利用轴对称，解决最短问题．
13．
【分析】
作点P关于OA的对称点，关于OB的对称点，连接与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得，，从而得到△PQR的周长，并且此时有最小值，连接，再求出为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，作点P关于OA的对称点，关于OB的对称点，
连接与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以，，，
所以，的周长，
由两点之间线段最短得，此时周长最小，
连接，
则
所以，
所以，为等腰直角三角，
所以，，
即最小周长是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线得到与周长相等的线段．
14．4
【分析】
作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公式结合等量代换即可求得答案．
【详解】
作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，如图，
∴AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，
∵∠MON=45°
∴∠AOA´´=90°
∴A´A´´==4（cm）
∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´=4（cm）
即△ABC的周长最小值为4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解．
15．6
【分析】
作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．
【详解】
解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．
由对称的性质可知，∠ACP=∠ACE，∠PCB=∠BCF，CP=CE=CF=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE=6，
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】
如图，作关于的对称点M，作关于的对称点，连接，，交于，交于，作于，于．由对称性可知：，，，推出的周长，推出当点固定时，此时的周长最小，再证明是等腰直角三角形，推出，推出当的值最小时，的值最小，求出的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，作关于的对称点M，作关于的对称点，连接，，交于，交于，作于，于．
由对称性可知：，，，
的周长，
当点固定时，此时的周长最小，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
当的值最小时，的值最小，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，最小值为，
的最小值为，
的周长的最小值为．
【点睛】
本题考查了轴对称问题，能根据等腰直角三角形的性质和垂线段最短做出辅助线是解此题的关键．
17．存在，图见解析，四边形ABCD的周长的最小值为＋5．
【分析】
求出点A关于x轴的对称点F的坐标、点B关于y轴的对称点E的坐标，连接EF交x轴、y轴于点D、点C，根据勾股定理、轴对称的性质计算即可．
【详解】
解：如答图，作点A关于x轴的对称点F，作点B关于y轴的对称点E，连接EF交x轴，y轴于点D，点C，则四边形ABCD的周长最小．易知点A关于x轴的对称点F的坐标为(4，－2)，点B关于y轴的对称点E的坐标为(－1，6)，
根据轴对称的性质可知BC＝CE，DA＝DF，
∴BC＋CD＋AD＝EC＋CD＋DF＝EF＝＝，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的周长的最小值为＋5．
【点睛】
本题考查最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
18．当点，，，共线时，四边形的周长最小，最小值为．
【分析】
如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，当点，，，共线时，四边形的周长最小，再利用勾股定理求解的长，从而可得答案．
【详解】
解： 矩形，

，，，
，，．
如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，
，，

．
当点，，，共线时，
四边形的周长最小，最小值为．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质以及勾股定理的运用，矩形的性质，正确作出辅助线，确定的值最小时，的位置是解题关键．
19．
【分析】
根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】
如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，
∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，
经过点，
，
，
，
，
，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
20．(0，1) (3.5，0)
【分析】
（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．因为AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，同侧AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，由AD+CF＝，同侧欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小．
【详解】
解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，

观察图像可知E′（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．
∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，
∵，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图），
连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，
设直线MN的解析式为，
，
解得：，
∴直线MN的解析式为，
∴点P的坐标为（3.5，0），
∴点E的坐标为（3.5，0）．
故答案为：（3.5，0）．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．见解析
【分析】
过点作射线，使，根据30°所对的直角边是斜边的一半将用表示，再根据三点共线且垂线段最短即可求出点．
【详解】
解：作图如下图所示，点即为所求点．
理由：如解图，过点作射线，使，过点作于点，交直线于点．
在中，，
∴．
∴．
∴当点、、三点共线且时，的值最小．
∴此时点即为所求点．
【点睛】
本题考查了线段和最小值、垂线段最短等知识点，作出，将用表示是解题的关键．
22．3
【分析】
过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,
∴∠DAC＝∠CAB＝30°,
∴PE＝AP;
∵∠DAF＝60°,
∴∠ADF＝30°,
∴AF＝AD＝×6＝3;
∴DF＝3;
∵AP+PD＝PE+PD,
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,
∴AP+PD的最小值为3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
23．
【分析】
作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．
【详解】
如图，作DE⊥AB于E点，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形，
∴∠MAE=30°，
∴AM=2ME，
∵MD=MB，
∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形的边长为6，
∴AB=6，AE=3，
∴，
∴，
∴MA+MB+MD最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．
24．2
【分析】
过点A作线段AC关于AB的轴对称线段AD，连接BD，构造等腰三角形，根据锐角三角函数得，则当时，最小，再利用锐角三角函数求出最小值．
【详解】
解：如图，过点A作线段AC关于AB的轴对称线段AD，连接BD，
根据轴对称的性质得是等腰三角形，
，
过点P作于点E，
在中，，
∴，
则，
当时，是最小的，也就是最小，
在中，，，
∴，即．
故答案是：．
【点睛】
本题考查线段最值问题，解题的关键是利用锐角三角函数构造直角三角形将转换成另一个线段，从而可以将转换成可以求最值的线段求解．
25．
【分析】
过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
【详解】
过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，
∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为，
故答案为3.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
26．6
【分析】
过E作EH⊥BC于H，过A作AH'⊥BC于H'，交BD于E'，则由已知条件可得EH=，所以所求最小值即AE+EH的最小值，由图可知AE+EH的最小值即AH'的长度，而AH'可以根据正弦函数的意义得到解答．
【详解】
解：如图，过E作EH⊥BC于H，过A作AH'⊥BC于H'，交BD于E'，
∵∠ABC=45°，∠ABD=15°，
∴∠EBH=30°，
∴EH=BE，
∴AE+，
∵点到直线垂线段最短，
∴AE'+E'H'即AE+的最小值为AH'，
∵∠ABC=45°，
∴AH'=AB×sin45°=6，
故答案为6 ．
【点睛】
本题考查四边形的应用，熟练掌握直角三角形的性质、特殊角三角函数的意义和性质是解题关键．
27．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）作CE，DF分别垂直于AB于点E，F，已知CE⊥AB，S△ABC=3，∠BAC=45°，可得AE=CE=2，BE=1，因为DF∥CE，AD是BC边上的中线，可得BF=EF=，在Rt△AFD中利用勾股定理即可求出AD的长．
（2）在Rt△BEC中，求得BC，当AD⊥CB时，AN=AD最小，根据等面积法，即可求出AD．
（3）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAC=135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．在Rt△EAH中，可得EH=AH=2，在Rt△EHC中，求得EC，，的最小值即为CE的值．
【详解】
（1）作CE，DF分别垂直于AB于点E，F
∵CE⊥AB，S△ABC=3，∠BAC=45°
∴，BE=1，
∵CE，DF分别垂直于AB于点E，F
∴DF∥CE
又∵AD是BC边上的中线
∴，
∴AF=
在Rt△AFD中，
∴
（2）在Rt△BEC中，BC=
当AD⊥CB时，AN=AD最小
根据等面积法，
得AN=
故答案为：
（3）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAC=135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．
在Rt△EAH中，
∵∠H=90°，∠EAH=45°，
∴EH=AH=2，
在Rt△EHC中，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查了用三角函数和勾股定理解直角三角形，点到线段的最短距离，图形旋转的性质，线段和的最值问题．