数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试导学案及答案

这是一份数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试导学案及答案，共6页。学案主要包含了典型例题，模拟试题，试题答案等内容，欢迎下载使用。

重点、难点：
1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（长方形和正方形都是矩形）
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、判定：
①矩形：有三个角是直角的四边形。
对角线相等的平行四边形
②菱形：四条边相等的四边形。
对角线互相垂直的平行四边形。
③正方形：按照定义。
3、性质：
①矩形：四个角都是直角，对角线相等。
②菱形：四条边都相等，对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角。
③正方形：四个角都是直角，四条边相等，对角线相等，互相垂直平分并且每条对角线平分一组对角。
【典型例题】
例1、如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，BE⊥DE于E。
求证：四边形ABCD是矩形。
略证：∵平行四边形ABCD
∴对角线AC、BD互相平分
又已知△AEC为Rt△AEC
∴取AC中点O，连接OE
∴
同理，对于Rt△BED，，∴AC=BD。
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的四边形是矩形）
例2、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，P在BC的延长线上。过点P分别作两腰AB、AC的垂线PE，PF。垂足分别为E、F。
求证：DE=DF并且DE⊥DF。
略证：∵D为等腰△ABC的底边BC上的中点
∴连接AD
∵∠EAF=∠AFP=∠AEP为Rt∠
∴四边形AEPF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）
∴AE=FP=FC
∴BE=AF
又可证明
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∴∠ADE=∠FDP
∵∠ADE+∠EDP=90°
∴∠FDP+∠EDP=90°
∴DE⊥DF
例3、如图，AB//CD，∠ACB=90°，E为AB中点，CE=CD，DE和AC相交于点F。
求证：①DE⊥AC②AF=CF
略证：只需证明四边形AECD是菱形即可。
连接DA，∵∠ACB=90°，E是AB中点
∴AE=EB=CE=CD
又AB//CD
∴四边形AECD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵AE=CE
∴平行四边形AECD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
∴DE⊥AC并且AF=CF
例4、△ABC中，AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC，EG⊥AC，DF⊥AB，请问：四边形MEND是菱形吗？为什么？
解析：∵DF⊥AB，CE⊥AB，∴DF//CE
同理，EG//BD
∴可证四边形MEND是平行四边形
又若平行四边形MEND是菱形，则一组邻边相等，∴ND=NE
∴只需证明NB=NC，即△NBC为等腰三角形
∴只需证明BD=CE
而是显然可证明的，∴四边形MEND是菱形。
完整的证明请大家自行完成。
例5、设M、N是正方形ABCD的两边AD、DC的中点，且CM与BN相交于点P。
求证：PA=PB。
证明：若PA=PB，则点A在PB的中垂线上，取CB的中点G，连AG。
∴只需证∠MPB=90°，并且证明四边形MCGA是平行四边形
∵可证
∴∠DCM=∠CBN
∵∠DCM+∠PCB=90°
∴∠PCB+∠CBP=90°
∴∠CPB=90°，∴CM⊥BN
又可证四边形MACG是平行四边形
∴AG//CM
∴AG⊥BP
∵BG=CG
∴AG过BP的中点
∴AG垂直平分BP
∴AP=AB
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1、下列说法中错误的是（ ）
A、菱形的四条边都相等
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C、四个角都相等的四边形是矩形
D一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
2、在四边形ABCD中，O为对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A、AC=BD，B、AD//BC，∠A=∠C
C、AO=BO=CO=OD，AC⊥BDD、AO=OC，OB=OD，AB=BC
3、菱形ABCD中，E，F分别是AB、AC的中点，已知EF=2，则四边形ABCD的周长为_________。
4、一张矩形纸片，需找出一个最大的正方形，可将一个角沿折痕AE折上去，使AB和AD边上的AF重合，这是运用了__________________的判定方法。
5、已知正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD，BC边的中点，将点C折到MN上，落在点P处，折痕BQ交MN于点E求BE的长。
6、矩形ABCD的对角线长为10cm，面积为，求∠CAB的度数。
7、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，BD平分∠ABC交AC于D，DF⊥BC于F，连接EF。
求证：四边形AEFD是菱形。
8、在正方形ABCD的对角线BD上取BE=BC，连CE，设P在CE上，PQ⊥BC，PR⊥BE。
求证：PQ+PR
9、正方形ABCD中，作EF//BD交DC和CB于点E，F，作FH⊥AE，交AB的延长线于点G，求证：BG=AB。
【试题答案】
1、B2、C
3、164、一组邻边相等的矩形是正方形
5、
6、30°或60°
提示：设AB=x，BC=y，列方程组求解。
7、提示：证明，∴AB=BF，再证，∴可证得EF//AC，∴平行四边形AEFD，又AD=DF，∴菱形AEFD。
8、提示：连BP，用面积法证明。
9、提示：证明Rt△，∴AD=BG，又AD=AB，∴AB=BG。