初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定学案
展开新知详解
1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形也是特殊的平行四边形,故菱形具备平行四边形的多有性质。除此之外,菱形的性质还有:
菱形的性质一: 边 菱形的四条边相等。
菱形的性质二: 对角线 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质三: 对称性 菱形是轴对称图形,对角线所在的直线是对称轴,菱形有2条对称轴。
例1:已知,如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F。(1)求证:AM=DM;(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长 。
练习1:如图所示,菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:2.
求:(1)较短对角线的长;(2)一组对边的距离。
例2:如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,E是AB边的中点,P是AC边上一动点,PB+PE的最小值是,求AB的值.
练习2:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,求△AEF的周长。
F
A
D
E
B
C
例3:如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=4.求:(1)∠ABC的度数;(2)菱形ABCD的面积.
练习3:已知菱形ABCD中,AC与BD相交O点,若∠BDC=,菱形的周长为20厘米,求菱形的面积.
小结:
S菱形ABCD =AB× DE或S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = AC×BD (菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半)
菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2:如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
菱形判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
例3:如图所示,四边形ABCD、DEBF都是矩形,AB=BF,AD、BE相交于M,BC、DF交于N,求证:四边形BMDN是菱形.
练习1:如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连结AE、CD。
(1)求证:AD=CE;
(2)四边形ADCE的形状是?
练习2:如图,在□ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连结DE,BF,BD.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.
练习3:如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点,(1)求证:四边形BDEF是菱形。(2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长?
例4:如图,□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
例5:如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形,叫做矩形。由此可见,矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质。
矩形其他性质1 矩形的四个角都是直角.
矩形其他性质2 矩形的对角线相等.
矩形其他性质3 矩形是轴对称图形,对边中点的连线就是对称轴,矩形有2条对称轴.
A
B
C
D
O
例1:(2011宁夏)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,∠AOD=60º,AD=2,
则AB的长为( )
A.2 B.4 C.2 eq \r(3) D.4 eq \r(3)
练习1:已知,如图 ,矩形 ABCD,AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由矩形的性质2有:
AO=BO=CO=DO=AC=BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
D
C
O
B
E
例2 :已知,如图所示,在矩形ABCD中,AC、BD是对角线,过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证:△ACE是等腰三角形。
练习2:已知,如图2,矩形ABCD中,E是BC上一点,于F,若 。求证:CE=EF。
练习3:在矩形ABCD中,,求这个矩形的周长。
例3:矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将ΔADC沿AC翻折至ΔAEC,AE与BC相交于G,求GC的长。
A
B
C
D
G
E
练习4:如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,求AG的长。
A′
G
D
B
C
A
练习5:如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,若将矩形折叠,使点B与D重合,求折痕EF的长。
矩形的判定定理
矩形的判定1:有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义法)
例1:在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且AF⊥BC,求证:四边形AFCE是矩形
矩形的判定2:有三个角是直角的四边形是矩形
例2:已知,如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,求证:四边形 EFGH为矩形.
矩形的判定3:对角线相等的平行四边形是矩形
例3:平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点P是四边形外一点,且PA⊥PC,PB⊥PD,垂足为P。求证:四边形ABCD为矩形。
练习1:已知:如图,□ABCD中,AC与BD交于O点,∠OAB=∠OBA.
(1)求证:四边形ABCD为矩形;
(2)作BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,求证:BE=CF.
练习2:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=DC,连结CF.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)如果AB=AC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
综合练习1:如图所示,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,CE⊥BD于E,OF⊥AB于F,BE:DE=1:3,OF=2cm,求AC的长.
综合练习2:如图所示,矩形ABCD中,长为7,宽为6,点E、F将BD三等分,求△AEF的面积.
综合练习3:已知矩形ABCD中,F在CB延长线上,AE=EF,CF=CA。求证:。
正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
其定义包括了两层意:
探究2:正方形性质:
正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有 的性质,同时又具有 的性质.
边:对边 ,四边 ;
角:四个角都是 ;
线:对角线相等,互相 ,每条对角线平分一组 .
形:是 对称
探究3:正方形判定:
(1)有一组邻边相等的 是正方形
(2)有一个角是直角的 是正方形
例1 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
练习1 已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:OE = OF.
例2点E,F,M,N分别是正方形ABCD四边上的点,且AE=BF=CM=DN,
求证:四边形EFMN是正方形.
证明:
练习2:已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:四边形PQMN是正方形.
【课后巩固】
1.如图,四边形,,都是正方形,边长分别为;五点在同一直线上,则 (用含有的代数式表示).
2.如图,等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边,则∠AED=______.
3.如图,由火柴棒拼成的一系列图形中,第n个图形由n个正方形组成,通过观察可以发现:(1)第4个图形中火柴棒的根数是_________;(2)第n个图形中火柴棒的根数是_________.
4.如图,P是正方形ABCD内一点,将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP′重合,若PB=3,则 PP′=________________
4图 5图 6图 7图
5.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则∠ACP度数是 .
如右图,已知正方形ABCD的边长为cm,E为DC边上一点,∠EBC=30°,则BE的长为____________.
如图,在正方形中,.若,求的长.
8.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
求证:EA⊥AF.
9.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形CFDE是正方形.
10、已知,在正方形ABCD中,点G是BC上的任意一点,DE ⊥AG于点E,BF ∥ DE,且交AG于点F,求证:AF—BF=EF
11.(快班做)已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF.
9.4矩形,菱形,正方形学案: 这是一份9.4矩形,菱形,正方形学案,共11页。学案主要包含了例题精讲,巩固训练等内容,欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第35讲 矩形、菱形、正方形(解析版)学案: 这是一份中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第35讲 矩形、菱形、正方形(解析版)学案,共43页。学案主要包含了矩形,菱形,正方形,特殊平行四边形综合题等内容,欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第35讲 矩形、菱形、正方形(原卷版)学案: 这是一份中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第35讲 矩形、菱形、正方形(原卷版)学案,共14页。学案主要包含了矩形,菱形,正方形,特殊平行四边形综合题等内容,欢迎下载使用。