初中人教版8.3 实际问题与二元一次方程组导学案及答案

专题8.10  实际问题与二元一次方程组（2）（专项练习）

一、单选题

1．甲、乙二人从一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行，若乙先行12千米，那么甲1小时追上乙，如果乙先走2小时，甲只用1小时追上乙，则乙的速度是（　　）千米/时．

A．6 B．4 C．8 D．10

2．小明骑着自行车以每分钟的速度匀速行驶在环城公路上，每隔就和一辆公交车迎面相遇，每隔就被同向行驶的一辆公交车追上，如果公交车是匀速行驶的，并且每相邻的两辆公交车从起点车站发出的间隔时间相等，则公交车的速度是（    ）．

A． B．

C． D．

3．甲、乙两人练习赛跑，若甲先跑半小时，则乙出发后40分钟可追上甲，设甲、乙每小时分别跑x千米、y千米，则可列方程（　　　）

A．                     B．

C． D．

4．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后的两位数，则这个两位数是（    ）

A．16 B．2 C．3 D．49

5．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为5，且十位上的数字比个位上的数字的2倍少1，则符合条件的两位数是（    ）

A．23 B．32 C．14 D．41

6．一个两位数,把其十位数字与个位数字交换位置后,所得的数比原数多9,则这样的两位数的个位数字与十位数字的差是（  ）

A．0 B．1 C．2 D．9

7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（    ）

A． B． C． D．

8．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（    ）尺．

A．25 B．20 C．15 D．10

9．在我国民间流传着这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两少7两，每人半斤多半斤；试问多少人分多少银？（注：这里的斤是指市厅，1市斤=10两），设一共有x人，y两银子，则下列方程组正确的是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，宽为的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　　）

A． B． C． D．

11．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（　　）

A．6 B．24 C．26 D．12

二、填空题

12．A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时__________千米．

13．一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行；每小时行16km，设船在静水中的速度为x㎞/小时，水流速度为y㎞/小时，可列出方程组__________

14．甲、乙两车从相距60千米的A． B两地同时出发，相向而行，1小时相遇，同向而行，甲在后，乙在前，3小时后甲可追上乙，求乙的速度为________千米/小时.

15．2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字之和为_____．

16．如果一个两位正整数的十位上的数字与个位上的数字的和是6，那么符合这个条件的两位数的个数是______．

17．程大位是我国明朝商人、珠算发明家，他岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中某一问题（如图）的意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个正好分完，大和尚共分得多少个馒头？根据所学的数学知识，可以求得大和尚共分得_________个馒头．

18．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为__________.

19．八块相同搞得长方形地砖拼成一个矩形，每块长方形的周长是____________．

20．已知大长方形的长为10，宽为8，三个形状相同的小长方形如图放在大长方形内，则图中一个小长方形的周长是_______．

21．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x=__________，y=__________．

三、解答题

22．雅西高速，西昌到成都全长420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西昌和成都两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇，相遇时小汽车比大客车多行70km；

（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：

甲：       乙：

①理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义

甲：x表示_______________．    y表示_______________．

乙：x表示_______________．    y表示_______________．

②补全甲、乙两人所列的方程组

（2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程）

23．列方程组解应用题：

《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买一只羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？

24．已知关于x，y的方程组

(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；

(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；

(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．

(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．

25．为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各清理了几天？

26．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．

（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：

①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；

②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？

（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．

参考答案

1．A

【分析】

设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意可得等量关系：①甲1小时的路程-乙1小时的路程=12千米；②乙2小时的路程+1小时的路程=甲1小时的路程，根据等量关系列出方程组即可．

【详解】

解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，

由题意得：，

解得：．

故选：A．

【点拨】

此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

2．C

【分析】

设汽车的速度为每分钟米，相邻两车的距离是s， 根据每隔5min就和一辆公交车迎面相遇，求出汽车相对于人的速度，可得关于s和的方程；根据每隔min就被同向行驶的一辆公交车追上，求出汽车相对于人的速度，可得关于s和的方程；联立方程组求解；

【详解】

解：设公交车的速度为每分钟米，相邻两车间的距离为米，

汽车迎面开来，汽车相对人的速度，

则，

汽车从后面追上，汽车相对人的速度，

则，

，

故选：

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系（相邻两车的距离相等），列出方程组再求解。

3．D

【分析】

设甲、乙每小时分别跑千米、千米，利用两人行驶路程相等即可得出答案．

【详解】

解：设甲、乙每小时分别跑千米、千米，则可列方程：
∵，
∴．
故选：D．

【点拨】

此题主要考查了二元一次方程的应用，利用两人行驶路程相等得出是解题关键．

4．A

【分析】

根据关键语句“十位数字与个位数字的和是7”可得方程x＋y＝7，十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数是10x＋y，对调后组成的两位数是10y＋x，根据关键语句“这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程10x＋y＋45＝10y＋x，联立两个方程即可得到答案．

【详解】

设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得：

，

解得：，

∴这个两位数是16，

故选：A．

【点拨】

此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程组．

5．B

【解析】

【分析】

设个位上的数字为x,十位上的数为y，根据题意可列出方程组即可求解.

【详解】

设个位上的数字为x,十位上的数为y，

依题意得，解得

故这个两位数是32，

故选B.

【点拨】

此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.

6．B

【解析】

【分析】

设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据等量关系：新两位数﹣原两位数=9，列方程计算即可．

【详解】

设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，（10y+x）﹣（10x+y）=9，9y﹣9x=9，y﹣x=1．

故选B．

【点拨】

本题考查了二元一次方程的应用，得到新数和原数的等量关系是解决本题的关键．

7．B

【分析】

设有x人，该物品价格为y元/件，根据等量关系，列出方程组，即可．

【详解】

根据题意得：，

故选B

【点拨】

本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找到等量关系“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，列出方程组，是解题的关键．

8．B

【分析】

设索长x尺，竿子长y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设索长x尺，竿子长y尺，
依题意，得：，

解得：，

∴索长为20尺，

故选：B．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9．A

【分析】

根据“每人7两少7两，每人半斤多半斤”，列出二元一次方程组，是解题的关键．

【详解】

设共有x人，y两银子，

根据题意可列方程组：，

故选：A．

【点拨】

本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程组，是解题的关键．

10．A

【分析】

设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意列方程组求解即可．

【详解】

设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意得，解得，

一个小长方形的面积为，

故选：A．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．

11．D

【分析】

根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的面积．

【详解】

解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则

，得，

∴图1中菱形的面积为：，

故选：D．

【点拨】

本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．

12．17

【分析】

设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为千米小时，千米小时，由于、两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题．

【详解】

解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为千米小时，千米小时，

依题意得，解之得：，

∴这艘船在静水中的速度和水流速度分别为17千米小时，3千米小时，

故答案为：17．

【点拨】

此题是一个行程问题，关键是知道如何求顺流和逆流的速度，如何根据速度、路程、时间即可列出方程组解决问题．

13．

【分析】

根据顺流速度=静水速度+水流速度以及逆流速度=静水速度-水流速度，即可得出关于x、y的二元一次方程组.

【详解】

解：设船在静水中的速度为x㎞/小时，水流速度为y㎞/小时，

则；

故答案为：.

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，根据顺流速度、逆流速度间的关系，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．

14．20

【分析】

设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距60千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇可得甲1小时的路程+乙1小时的路程=60千米；同时出发同向而行甲3小时可追上乙可得甲3小时的路程-乙3小时的路程=60千米，可列方程组求解．

【详解】

设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时，
，
解得：.
答：乙的速度是20千米/时.

【点拨】

本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，得到等式关系.

15．11

【分析】

根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．

【详解】

解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b

∵外圆两直径上的四个数字之和相等

∴4+6+7+8=a+3+b+11①

∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等

∴3+6+b+7=a+4+11+8②

联立①②解得：

a=2，b=9

∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9

2+9=11

故答案为：11．

【点拨】

此题比较简单，主要考查了二元一次方程组的应用，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．

16．6．

【分析】

用二元一次方程解决问题的关键是找到个合适的等量关系加以分析，得到整数解．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数．本题中只有一个等量关系：十位数字+个位数字=6．

【详解】

解：设十位数字为x，个位数字为y．
则x+y=6，由于1≤x≤6，且x为正整数，
∴这样的两位正整数有15，24，33，42，51，60．

故答案为6.

【点拨】

本题考查用二元一次方程解决问题，属于开放性的内容．首先需考虑设各个数位上的数为未知数，还需考虑最高位上的数的取值范围．

17．75

【分析】

设大和尚共分得x个馒头，小和尚共分得y个馒头，根据“大和尚和小和尚共分得100个馒头，大和尚和小和尚共100人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

设大和尚共分得x个馒头，小和尚共分得y个馒头，

依题意，得：，

解得：．

故答案为：75．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

18．

【分析】

设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组.

【详解】

∵雀每只两，燕每只两，

依题意可得

故填：

【点拨】

此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系.

19．120

【分析】

从右边长方形的宽60cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽=60；一个小长方形的长+一个小长方形的宽=60，列出方程求解，可得长和宽，从而计算周长．

【详解】

解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．
依题意得，

解得，

即：长方形地砖的长为45cm，宽为15cm，

∴每块长方形的周长是（45+15）×2=120cm，

故答案为：120．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用．应从题中所给的已知量60入手，找到最简单的两个等量关系，进而求解．

20．12

【分析】

设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长及宽，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得，

解得：，

∴（4+2）×2=12，

故答案为：12．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

21．4    5   

【解析】

根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2，依两个等量关系列出方程组，再求解．

故答案为4和5．

点拨：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．

22．（1）①见解析；②420，70；420，70；（2）小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．

【分析】

（1）根据方程理解未知数的意义并补全方程组即可；
（2）根据乙组方程求解即可．

【详解】

（1）①甲：x表示相遇时小汽车行驶了xkm；y表示相遇时大客车行驶了ykm．

乙：x表示小汽车行驶的速度为xkm/h；y表示大客车行驶的速度为ykm/h．

②甲:　乙：

（2）设小汽车行驶的速度为xkm/h，大客车行驶的速度为ykm/h．

解得：

答：小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意正确建立方程组是解题关键．

23．合伙人是21人，羊价是150元．

【分析】

设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设合伙人数是x人、羊价是y元，依题意得：

，

解得：

答：合伙人数是21人，羊价是150元．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

24．（1）， （2）m=（3）（4）

【分析】

（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解；

（2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值；

（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可；

（4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可.

【详解】

（1）                   

（2）                    解得

把代入，解得m=

（3）

（4）

①+②得：

解得，

∵x恰为整数，m也为整数，

∴2+m=1或2+m=-1,

解得

25．甲乙工程队各用了4天，6天．

【分析】

根据题意两队用时时间和为10天；两队工程量的和为88米．利用两个等量关系列方程组，根据题意设两个未知量，根据已知列方程组求解即可．

【详解】

解：设甲乙工程队各用了x天，y天，

则　

解得，

答：甲乙工程队各用了4天，6天．

【点拨】

本题主要考查二元一次方程组的应用．列方程主要找到等量关系，二元方程即需要两个等量关系来列方程组。这类工程问题涉及到的关系：总工程量＝工作效率×工作时间，及其变形的形式．

26．（1）①第二次记录错误，理由见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；（2）竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．

【分析】

（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；

②由第一次记录，列出方程组，可求解；

（2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解．

【详解】

（1）①第二次记录错误，

理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，

则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，

∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，

∴第二次记录有误；

②由题意可得：，

解得：，

答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；

（2）由题意可得：，

解得：x＝3y，

∴x：y＝3，

答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．