初中数学人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系7.1 平面直角坐标系7.1.2平面直角坐标系学案设计

这是一份初中数学人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系7.1 平面直角坐标系7.1.2平面直角坐标系学案设计，共23页。学案主要包含了单选题，第四象限角平分线上，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法不正确的是( )
A．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上
B．点到轴的距离为
C．若中，则点在轴上
D．点可能在第二象限
3．若点在第一象限，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点在第一象限或第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
6．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（ ）
A．m＞3B．0＜m≤3C．m＜0D．m＜0或m＞3
7．在平面直角坐标系中，过点画直线轴，过点画直线轴，直线相交于点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．已知是第四象限内的一点，且，，则P点的坐标为（ ）
A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)
10．如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．若点在第二象限，，，则点P的坐标为
A．B．C．D．
12．已知点位于第二象限，并且，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
二、填空题
13．已知点在坐标轴上，则 _________．
14．如果点满足，则点在第__________象限．
15．如图，点坐标为，则的值是______.
16．已知点．
若点P在x轴上，则点P的坐标为________；
若点P在第四象限，且到y轴的距离是2，则点P的坐标为________．
17．已知点A（2a+5，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，则a＝_____．
18．如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为________．
19．平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且AB＝5，若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标是_____．
20．若位于第一象限的点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是_______．
21．如图，在平面直角坐标系中，动点在第一象限及、轴上运动.第一次它从原点运到点，然后按图中箭头所示方向运动，即，每次运动一个单位长度，若第2018次运动到点，则式子的值是______.
22．如图，点，的坐标分别为，，将三角形沿轴向右平移，得到三角形，已知，则点C的坐标为__________．
23．如图，长方形ABCD中AB=3，BC=4，且点A在坐标原点，（4,0）表示D点，那么C点的坐标为______.
24．点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是_____．
25．已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积为10，则的值为________．
26．到轴距离为2，到轴距离为3的点的坐标为___________．
27．以下四个命题：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③数轴上的每一个点都表示一个实数；
④如果点 的坐标满足，那么点 一定在第二象限．其中正确命题的序号为 ___．
28．已知点A(3，b)在第一象限，那么点B(-3，-b)在第________象限．
三、解答题
29．定义：已知点，若点，我们称点是点的关联点．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，其对应的关联点分别为点、点．
（1）当时，写出点、点的坐标：________、_________；
（2）求当为何值时，线段上的点都在第二象限；
（3）点是平面直角坐标系内一点．
①当点在轴上且三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求点的坐标；
②当时，若点在直线之间(含在这两条直线上)，直接写出的取值范围．
30．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．
（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，
①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．
②求证：M为BE的中点．
③探究：若在点D运动的过程中，的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．
31．如图①，在平面直角坐标系中，等边的顶点，的坐标分别为，，点是轴正半轴上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）并判断的形状，说明理由．
（2）如图②，当在线段上运动时，的周长随点的移动而变化，求出的最小周长．
（3）当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
参考答案
1．B
解：点的横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限；
故选：B．
【点拨】
本题考查了在不同象限点的坐标特征，熟记平面直角坐标系中点的坐标特征是解题关键．
2．C
【分析】根据点坐标的定义选出不正确的选项．
【详解】
A选项正确，∵，∴，即点在二、四象限的角平分线上；
B选项正确，∵点P的横坐标是，∴到y轴的距离是2；
C选项错误，点P也可能在y轴上；
D选项正确，∵，，∴点A可能在第二象限内．
故选：C．
【点拨】本题考查点坐标，解题的关键是掌握点坐标的定义和所在象限的判断方法．
3．D
【分析】根据点在第一象限，判断m、n的符号，进而判断其所在的象限．
解：∵点（m，-n）在第一象限，
∴m＞0，-n＞0，
∴n＜0，
∴（m，n）在第四象限．
故选：D．
【点拨】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
4．D
【分析】第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
【详解】
A. 在第四象限，故不符合题意；
B. 在第三象限，故不符合题意；
C. 在第一象限，故不符合题意；
D. 在第二象限，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
5．D
【分析】在第一象限或第三象限内的点的横纵坐标均为同号，列式求值即可．
【详解】
因为点在第一象限或第三象限，
所以或
解得：或
故选：D
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
6．C
【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．
解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞0，解得m＜0．
故选：C．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
7．A
【分析】根据过点画直线轴可以知道P点的横坐标，根据过点画直线轴可以知道p点的纵坐标，由点P的横纵坐标即可得到答案.
解：∵点p是通过点画直线轴，过点画直线轴得到的交点，
∴点P的横坐标与点A的横坐标相同，即，
点P的纵坐标与点B的纵坐标相同，即，
因此，点p的坐标为，
故A为答案.
【点拨】本题主要考查了与直角坐标系有关的知识，掌握向轴画垂线得到的点横坐标相同，向轴作垂线得到的点纵坐标相同是解题的关键.
8．C
【分析】根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a≥1时，这个点和限变点的纵坐标不变；当横坐标a＜1时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断．
【详解】
∵＞1
∴这个点的坐标为（，-1）
故选：C．
【点拨】此题考查点的坐标，解题关键在于准确找出这个点与限变点的横、纵坐标与a的关系即可．
9．D
【分析】根据平方根的定义和绝对值的意义由x2=4，|y|=3得x=±2，y=±3，而第四象限内的点的坐标为横坐标为正，纵坐标为负，则x=2，y=-3，即可写出P点坐标．
解：∵x2=4，|y|=3，
∴x=±2，y=±3，
而P（x，y）是第四象限内的一点，
∴x＞0，y＜0，
∴x=2，y=-3，
∴P点的坐标为（2，-3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作（a≥0）．也考查了绝对值的意义以及各象限点的坐标特点．
10．D
【分析】先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
解：∵点在轴上
∴m=0
∴，即点B在第四象限．
故答案为D．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
11．A
【解析】试题分析：根据题意可知a=±5，b=16，然后根据第二象限内的点的特点（-，+），可知P点的坐标为：（-5，16）.
故选A.
点拨：解此题时要先根据绝对值的性质求出a的值，然后根据平方根的意义求出b的值，再结合平面直角坐标系中第二象限内点的特点求解即可.
12．B
【分析】根据第二象限的点的特点可知，即可得，，计算可得；a，b均为整数，所以或；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．
解：∵点位于第二象限，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵a，b均为整数，
∴或，
当时，，；
当时，，或或或；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，是解决本题的关键．
13．0
【分析】根据点P（a，b）在坐标轴上，可得出a、b至少有一个是0，从而可得出结果．
解：∵点P（a，b）在坐标轴上，
∴a、b至少有一个是0，
∴ab=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了点的坐标，注意：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
14．二
【分析】根据非负性求出x、y的值,即可判断A所在的象限．
【详解】
根据二次根式和绝对值的非负性可知x=﹣2,y=3．
则A(﹣2,3),应在第二象限．
故答案为:二．
【点拨】本题考查非负性的应用,坐标点与象限的关系,关键在于利用非负性解出x,y．
15．-1
【分析】如图，由∠AOM=45°可得点M在第一象限的角平分线上，可知点M到x轴和到y轴的距离相等，列方程求出a值，结合点M所在象限即可得答案.
【详解】
如图，∵∠AOM=45°，
∴OM为第一象限的角平分线，
∴，
∵点M在第一象限，
∴2-a>0，3a+6>0，
∴2-a=3a+6
解得：a=-1
故答案为-1
【点拨】本题考查了点的坐标的知识及角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；根据点M所在象限确定坐标符号，去掉绝对值是解题关键.
16．
【分析】
（1）根据坐标轴上点的坐标特征列方程求出m的值即可得到点P的坐标；
（2）根据点所在的象限确定m的取值，再根据到y轴的距离是2求出m的值即可．
解：（1）∵点在x轴上，
∴m-1=0，
解得，m=1
∴2m+4=6，
∴点p的坐标为：（6，0）；
（2）∵点P在第四象限，
∴2m+4＞0且m-1＜0
解得，-2＜m＜1
∵点P到y轴的距离是2，
∴|2m+4|=2，解得，m=-1，或m=-3,
∴m=-1
∴点P的坐标为（2，-2）
故答案为（6，0），（2，-2）
【点拨】本题考查点的坐标，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．﹣8．
【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等，即可解答．
【详解】
点A（2a+5，a-3）在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等，
∴2a+5=a-3，
解得a=-8．
故答案为：-8．
【点拨】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
18．(2,1.5)
【分析】
先根据四边形ONEF是矩形，由矩形的性质可知点M是对角线OE的中点，根据线段的中点坐标公式即可得出M点的坐标．
【详解】
∵四边形ONEF是矩形，
∴OM=ME，即点M是对角线OE的中点，
∵O（0，0），E（4，3），
∴M（，），即（2，1.5）．
故答案为：（2，1.5）．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，矩形的对角线互相平分的性质，以及线段的中点坐标公式，掌握线段的中点坐标公式：以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）是解题的关键．
19．（﹣2，2）或（8，2）．
【解析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，再分点B在点A的左边与右边两种情况讨论求解．
解：∵线段AB与x轴平行，
∴点B的纵坐标为2，
点B在点A的左边时，3﹣5＝﹣2，
点B在点A的右边时，3+5＝8，
∴点B的坐标为（﹣2，2）或（8，2）．
故答案为（﹣2，2）或（8，2）．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等、平行于y轴的直线上的点的横坐标相等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
20．(2,2)
【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点M的横坐标与纵坐标的长度相等，再分点M在第一、三象限两种情况讨论解答．
解：∵点N在第一、三象限的角平分线上，
∴点N到y轴的距离也为2，
当点N在第一象限时，点N的坐标为（2，2）；
点N在第三象限时，点N的坐标为（-2，-2）．
故答案为：点N的坐标为（2，2）．
【点拨】本题考查坐标与图形的性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，要注意分情况讨论．
21．50
【分析】根据P点的速度确定：(0,1)用的秒数分别是1(1 )秒，到(0,2)用8(2×4)秒，到(0,3)用9(3)秒，到(0,4)用24(4×6)秒，到(0,5)用25(5)秒，到(0,6)用48(6×8)秒，依此类推，到(0,45)用2025秒，后退7秒可得2018秒所对应的坐标．
【详解】
P点的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的秒数分别是1(1)秒，到(0,2)用8(2×4)秒，到(0,3)用9(3)秒，到(0,4)用24(4×6)秒，到(0,5)用25(5)秒，到(0,6)用48(6×8)秒，依此类推，到(0,45)用2025秒．
2025−1−6=2018，
故第2018秒时P点所在位置的坐标是(6,44)．
6+44=50.
故答案为50.
【点拨】此题考查点的坐标，解题关键在于找到其规律.
22．
【分析】
利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】
∵点A. B的坐标分别为(1,2)、(4,0)，将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，DB=1，
∴OD=3，
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，
∴点C的坐标为：(4,2).
故答案为：(4,2).
【点拨】此题考查点的坐标，解题关键在于利用平移的性质.
23．（4，-3）
【分析】
根据点的坐标的写法写出即可．
解：∵矩形ABCD中AB=3，BC=4，
∴C点的坐标为（4，-3）．
故答案为：（4，-3）．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，是基础题，主要利用了矩形的性质与平面直角坐标系中点的坐标的写法．
24．（﹣2，﹣4）
【分析】位于x轴下方，y轴左侧，那么所求点在第三象限；距离x轴4个单位长度，可得点P的纵坐标；距离y轴2个单位长度，可得点P的横坐标．
解：∵点P位于x轴下方，y轴左侧，
∴点P在第三象限；
∵距离y轴2个单位长度，
∴点P的横坐标为﹣2；
∵距离x轴4个单位长度，
∴点P的纵坐标为﹣4；
∴点P的坐标为（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系的问题，掌握平面直角坐标系的性质是解题的关键．
25．±4
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．
解：假设直角坐标系的原点为O，
则直线与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直角三角形，
∵和点，
∴，,
∴，
∴，
∴，
故答案为：±4．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．
26．（3，2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2）或（3，﹣2）
【分析】
根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
解：∵点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴该点的坐标是（3，2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2）或（3，﹣2），
故答案为：（3，2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2）或（3，﹣2）．
【点拨】本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键．
27．①③
【分析】
依次分析判断即可得到答案.
【详解】
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该项正确；
②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该项错误；
③数轴上的每一个点都表示一个实数，故该项正确；
④如果点 的坐标满足，则x与y异号，那么点P在第二或第四象限，故该项错误；
故答案为：①③.
【点拨】此题考查命题的正确与否，正确掌握各知识点并熟练运用解题是关键.
28．三
【分析】根据点A（3，b）在第一象限，可得b＞0；则可以确定点B（-3，−b）的纵坐标的符号，进而可以判断点B所在的象限．
【详解】
根据题意，点A（3，b）在第一象限，则b＞0，那么点B（-3，−b）中，−b＜0；则点B（-3，−b）在第三象限．
故答案为：三．
【点拨】本题考查四个象限上点的坐标的特点，并要求学生根据点的坐标，判断其所在的象限．
29．（1）；（2）；（3）①或；②．
【分析】
（1）根据关联点的定义进行运算即可得到；
（2）由定义可知，，根据C、D的位置可以得出CD与平行且点在点的右从而列出不等式，进而得到t的取值范围；
（3）①由,可得点到的距离等于点到的距离的2倍,可分两种情况：当点在直线和之间时,点到的距离为2,可得P点坐标,当点在直线上方时,同理可得P点坐标；
②当点P在AC上时，连接AP并延长，此时C点坐标为（0，3），可求此时t的值；当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），可求此时t的值，进而得到t的取值范围.
【详解】
（1）
（2）由定义可知，,
的纵坐标相同,
与平行且点在点的右侧,
,
解得：,
（3）①由坐标特征可知，与平行且相等,
,
点到的距离等于点到的距离的2倍,
(i)当点在直线和之间时,
点到的距离为2,
,
(ii)当点在直线上方时,
同理，;
② .
当点P在AC上时，连接AP并延长，此时C点坐标为（0，3），
∵，
∴t=-1；
当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），
∵，
∴t=-5，
∴t的取值范围为：.
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变化，掌握变化规律是解题的关键.
30．（1）①E（3，﹣2）②见解析；③，理由见解析；（2）OD+OA＝2AM或OA﹣OD＝2AM
【分析】
（1）①过点E作EH⊥y轴于H．证明△DOA≌△AHE（AAS）可得结论．
②证明△BOM≌△EHM（AAS）可得结论．
③是定值，证明△BOM≌△EHM可得结论．
（2）根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论．
解：（1）①过点E作EH⊥y轴于H．
∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），
∴OA＝OB＝3，OD＝5，
∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，
∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠DAO＝∠AEH，
∴△DOA≌△AHE（AAS），
∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
∴E（3，﹣2）．
②∵EH⊥y轴，
∴∠EHO＝∠BOH＝90°，
∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，
∴△BOM≌△EHM（AAS），
∴BM＝EM．
③结论：＝．
理由：∵△DOA≌△AHE，
∴OD＝AH，
∵OA＝OB，
∴BD＝OH，
∵△BOM≌△EHM，
∴OM＝MH，
∴OM＝OH＝BD．
（2）结论：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．
理由：当点D在点B左侧时，
∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE
∴OM=MH，OD=AH
∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA
∴BD=OH
∴BD＝2OM，
∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），
∴OD+OA＝2AM．
当点D在点B右侧时，过点E作EH⊥y轴于点H
∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，
∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠DAO＝∠AEH，
∵AD=AE
∴△DOA≌△AHE（AAS），
∴EH=AO=3=OB，OD=AH
∴∠EHO＝∠BOH＝90°，
∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，
∴△BOM≌△EHM（AAS），
∴OM＝MH
∴OA＋OD= OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）
整理可得OA﹣OD＝2AM．
综上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键．
31．（1）是等边三角形；证明见解析；（2）；（3）或．
【分析】
（1）因为CD=CE，，即可证得；
（2）易证，的周长，所以当于点时，的周长最小；
（3）根据点D的位置特点，分情况讨论，分别求出对应D的坐标即可．
【详解】
（1）绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
（2）由（1）知，是等边三角形，
，
由旋转，知，
，
由垂线段最短可知，当于点时，的周长最小，
此时，，
的周长最小为．
（3）设点的横坐标为，则，
若点与点重合，无法构成，
若点与点重合，无法构成，
，．
①当时，如图，
由旋转知：，
又，
，
，
令，
由（1）得：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
．
②当时，如图，
，，
，
则此时不存在．
③当时，如图，
由旋转，知，
，
，
令，
，
，
，
，
．
综上所述：或．
【点拨】本题考查平面直角坐标系与几何结合的综合题目，掌握旋转的性质和分类讨论是解题的关键．