初中8.4 三元一次方程组的解法导学案

专题8.11   三元一次方程组的解法（知识讲解）

【学习目标】

1．理解三元一次方程(或组)的含义；

2．会解简单的三元一次方程组；

3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.

【要点梳理】

要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念

1.三元一次方程的定义

含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．

要点诠释：

 (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．

(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．

2．三元一次方程组的定义

一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.

要点诠释：

(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．

（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．

要点二、三元一次方程组的解法

    解三元一次方程组的一般步骤

(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．

要点诠释：

（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：

（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．

要点三、三元一次方程组的应用

列三元一次方程组解应用题的一般步骤

1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；

 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

  4．解这个方程组，求出未知数的值；

  5．写出答案(包括单位名称)．

要点诠释：

(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

【典型例题】

类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念

1．（2020·全国七年级课时练习）下列方程组不是三元一次方程组的是(    　  )

A．                B． 

C． D．

【答案】D

【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．

 解：根据三元一次方程组的定义，可知A、B、C都是三元一次方程组，而选项D含有未知数的乘积项，是三元三次方程．

故选：D

【点拨】本题考查三元一次方程组的知识，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．

【变式】（2020·全国七年级课时练习）下列方程中，三元一次方程共有(   　 )

(1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用三元一次方程的定义判断即可．

 解：（1）x + y + z = 3，是三元一次方程；

（2）x · y · z = 3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程；

（3），是三元一次方程；

（4）分母含有未知数，是分式方程；

则三元一次方程有2个，

故选：B

【点拨】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键．

类型二、三元一次方程组的解法

2（2020·全国课时练习）解方程组，先消去未知数________________比较方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．

【答案】           

【分析】根据题意先利用加减消元法消去y，转化为关于x、z的二元方程组即可解决．

解：，因为y的系数故先消去未知数y，

①+②得：，

②+③得：．

故答案为：，，．

【点拨】本题考查三元方程组，解题的关键是三元方程组转化为二元方程组，学会转化的数学思想．

举一反三：

【变式1】（2020·全国七年级）在等式中，当时，；当时，；当时，，求这个等式中、、的值．

【答案】，，

【分析】将三个已知条件代入得到三个方程，联立成方程组，解方程组即可．

解：由题意得，，

解得，，，．

【点拨】本题主要考查三元一次方程组的应用，掌握三元一次方程组的解法是关键．

【变式2】（2020·吉林长春市·七年级期末）解方程组：

【答案】

【分析】

把③分别代入①、②中，消去x，得到关于y和z的二元一次方程组，求出y和z的的值，进而可求出x的值．

 解：，

把③分别代入①、②中，得，解得

把代入③中，得，

∴．

【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，关键把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法，解三元一次方程组的关键是消元．

类型三、三元一次方程组的应用

3. （2019·江苏南通市·七年级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝﹣10；求当x＝﹣2时，y的值．

【答案】y的值是34．

【分析】根据已知条件可以先求得的值，从而可以得到时，y的值．

解：∵在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=20；当x=2时，y=﹣10；

∴，

①+②得：，则④，

②③得：，则⑤，

⑤-④得：，

将代入④得：，

将，代入①得：，

∴，

当x=﹣2时，，

即x=﹣2时，y的值是34．

【点拨】本题考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确解三元一次方程组的方法．也是学习二次函数求解析式的一个较重要的内容

举一反三：

【变式】（2019·广东省东莞市东华初级中学七年级期中）解三元一次方程组

【答案】．

【分析】方程②+③消去c，得到关于a、b的方程，然后与方程①组合得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组求得a、b的值，继而将a、b的值代入②求出c的值即可得答案．

解：，

②+③得：3a+4b=11④，

①与④联立得：

，

①×4-④得：5a=5，

解得：a=1，

把a=1代入①得：2+b=4，

解得：b=2，

把a=1，b=2代入②得：1+2+c=-2，

解得：c=-5，

所以方程组的解为：．

【点拨】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解此类问题的关键．

4.（2020·全国七年级课时练习）小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？

【答案】120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔．

【解析】设钢笔每支元，练习本元，中性笔元．利用题中已知条件列方程组  由此可以求得 的值，所以通过比较与120的大小可以作出判断．

解：设钢笔每支元，练习本元，中性笔元，则

，

①+②得， 

所以，（元），

答：120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性． 

举一反三：

【变式】（2019·全国七年级单元测试）甲、乙、丙三人到集邮市场，甲买了A种邮票3张、B种邮票2张、C种邮票1张，按票值付款13元；乙买了A种邮票1张、B种邮票1张、C种邮票2张，按票值付款7元；丙买了A种邮票2张、B种邮票3张、并卖出C种邮票1张，按票值结算还要付12元，问A、B、C三种邮票面值各多少元？

【答案】A种邮票面值2元，B种邮票面值3元，C种邮票面值1元．

【分析】假设A种邮票面值x元，B种邮票面值y元，C种邮票面值z元，利用甲、乙、丙购买的邮票种类和应付的钱数得出等式组成方程组求出即可．

解：设A种邮票面值x元，B种邮票面值y元，C种邮票面值z元，

根据题意可得解得

答：A种邮票面值2元，B种邮票面值3元，C种邮票面值1元．

【点拨】此题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组.