初中数学人教版七年级下册9.1 不等式综合与测试学案

专题9.1  不等式及其基本性质（知识讲解）

【学习目标】

1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.

2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.

3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.

【要点梳理】

要点一、不等式的概念

  一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

要点诠释：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)五种不等号的读法及其意义：

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

要点二、不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

要点诠释：

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．

(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：

要点诠释：

借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．

    注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．

 要点三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

要点诠释：

不等式的基本性质的掌握注意以下几点：

(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．

(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．

【典型例题】

类型一、不等式的概念 

1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是______．（填序号）

【答案】②③④⑥

【分析】根据不等式的定义判断即可．

解：①a（b+c）=ab+ac是等式；
②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；
⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：②③④⑥．

【点拨】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．

举一反三：

【变式】  （2019·全国八年级课时练习）下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥3x－5＝2x＋2；⑦a2＋2≥0；⑧a2＋b2≠c2.其中是不等式的是___________________．(只填序号)

【答案】①②⑤⑦⑧

【解析】

【分析】根据不等式的定义即可得出结论．

解：根据不等式的定义：①－1＞2，②3x≥－1，⑤3x－4＜2y，⑦a2＋2≥0，⑧a2＋b2≠c2是不等式；③x－3，④s=vt，⑥3x－5=2x＋2不是不等式．

故答案为：①②⑤⑦⑧．

【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础．

举一反三：

【变式】 （2018·全国八年级单元测试）下列式子属于不等式的是_______________．

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨

【答案】①③④⑤⑦⑧⑨

【解析】

【分析】根据不等式的概念即可解题.

解：∵不等式要求用不等号连接

∴排除②⑥

∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨

【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.

类型二、不等式的解及解集

2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？

100,  98,  51,  12,  2,  0,  -1,  -3,   -5.

【答案】100,  98,  51,  12,  2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.

【解析】

试题分析：把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值，看是否大于或等于5即可.

试题解析：

∵在不等式中，

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=；

当时，左边=;

∴上述各数中，100，98，51，12，2是不等式的解；0，－1，－3，－5不是不等式的解.

3. （2018·全国七年级课时练习）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．

(1)x≥－3；   (2)x＞－1；    (3)x≤3；(4)x<－.

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.

试题解析：

（1）将表示在数轴上为：

（2）将表示在数轴上为：

（3）将表示在数轴上为：

（4）将表示在数轴上为：

点拨：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”，“（或）时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.

 举一反三：

【变式】 （2020·全国八年级课时练习）在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？

【答案】﹣2，0，满足不等式；﹣4，7不满足不等式

【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．

 解：根据图可知：x的下列值：﹣2，0，满足不等式；x的下列值：﹣4，7不满足不等式．

【点拨】

不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

类型三、不等式的性质

4. （2021·全国八年级）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式． 

（1）．    （2）．     （3）．    （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）利用不等式的性质将两边加上即可求解；

（2）利用不等式的性质先将两边加上，再两边同除以即可求解；

（3）利用不等式的性质先将两边减去，再两边同除以即可求解；

（3）利用不等式的性质将两边同除以-即可求解；

解：（1），

两边加上得：，

解得：；

（2），

两边加上得：，即，

两边除以得：；

（3），

两边减去得：，即，

两边除以得：；

（4），

两边除以得：．

【点拨】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．

举一反三：

【变式】 （2020·全国八年级课时练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：

（1）5x>4x+8     （2）x+2<-1       （3）-x>-1

（4）10-x>0      （5）-x<-2       （6）3x+5<0

【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-．

【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；依次分析各小题即可．

 解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，

得5x-4x>4x+8-4x，即x>8；

（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，

得x+2-2<-1-2即x<-3；

（3）根据不等式性质3，不等式两边同除以-，不等号的方向改变，

得-x÷（-）<-1÷（-）即x<；

（4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变，

得10-x-10>0-10即-x>-10，

再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10；

（5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，

得-x·（-5）>-2×（-5）即x>10；

（6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变

得3x+5-5<0-5即3x<-5，

再根据不等式性质2，不等式两边同除以3，不等号的方向不变，

得3x÷3<-5÷3即x<-．

【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，本题重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．