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    专题9.1 不等式及其基本性质(知识讲解)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
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    初中数学人教版七年级下册9.1 不等式综合与测试学案

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    这是一份初中数学人教版七年级下册9.1 不等式综合与测试学案,共8页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题等内容,欢迎下载使用。

    专题9.1  不等式及其基本性质(知识讲解)

    【学习目标】

    1了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.

    2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.

    3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.

    【要点梳理】

    要点一、不等式的概念

      一般地,用“<”、 “>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

    要点诠释:

    (1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.

    (2)五种不等号的读法及其意义:

    符号

    读法

    意义

    “≠”

    读作“不等于”

    它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪个大,哪个小

    “<”

    读作“小于”

    表示左边的量比右边的量小

    “>”

    读作“大于”

    表示左边的量比右边的量大

    “≤”

    读作“小于或等于”

    即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量

    “≥”

    读作“大于或等于”

    即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量

    (3)有些不等式中不含未知数,如34-1-2;有些不等式中含有未知数,如2x5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.

    要点二、不等式的解及解集

    1.不等式的解:

    能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

    2.不等式的解集:

    对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.

    要点诠释:

    不等式的解

    是具体的未知数的值,不是一个范围

    不等式的解集

    是一个集合,是一个范围.

    其含义:①解集中的每一个数值都能使不等式成立

    ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中

     

    3.不等式的解集的表示方法

    (1用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.

    (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:

    要点诠释:

    借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定方向.(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”:对边界点a而言,xaxa向右画;对边界点a而言,xaxa向左画.

        注意:在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.

     要点三、不等式的基本性质

    不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

    用式子表示:如果ab,那么a±cb±c

    不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

    用式子表示:如果abc0,那么acbc()

    不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

    用式子表示:如果abc0,那么acbc()

    要点诠释:

    不等式的基本性质的掌握注意以下几点:

    (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会.

    (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变.

    【典型例题】

    类型一、不等式的概念 

    12020·浙江杭州市·八年级期中)给出下列表达式:,其中属于不等式的是______.(填序号)

    【答案】②③④⑥

    【分析】根据不等式的定义判断即可.

    解:①a(b+c)=ab+ac是等式;
    ②-2<0是用不等号连接的式子,故是不等式;
    ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式;
    ④2a>b+1是用不等号连接的式子,故是不等式;
    ⑤x2-2xy+y2是代数式;
    ⑥2x-3>6是用不等号连接的式子,故是不等式,
    故答案为:②③④⑥.

    【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.

    举一反三:

    【变式】  2019·全国八年级课时练习)下列式子:12②3x≥1③x3④svt⑤3x42y⑥3x52x2⑦a22≥0⑧a2b2≠c2.其中是不等式的是___________________(只填序号)

    【答案】①②⑤⑦⑧

    【解析】

    【分析】根据不等式的定义即可得出结论.

    解:根据不等式的定义:12②3x1⑤3x42ya22≥0a2b2c2是不等式;x3s=vt⑥3x5=2x2不是不等式.

    故答案为:①②⑤⑦⑧

    点拨】本题考查了不等式的概念.掌握不等式的概念是解题的基础.

    举一反三:

    【变式】 2018·全国八年级单元测试)下列式子属于不等式的是_______________

    【答案】①③④⑤⑦⑧⑨

    【解析】

    【分析】根据不等式的概念即可解题.

    解:不等式要求用不等号连接

    排除②⑥

    不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨

    点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.

    类型二、不等式的解及解集

    2.2018·安徽全国·七年级单元测试)下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解?哪些不是?

    100,  98,  51,  12,  2,  0,  -1,  -3,   -5.

    【答案】100,  98,  51,  12,  2是不等式3x-1≥5的解;0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.

    【解析】

    试题分析:把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可.

    试题解析:

    在不等式中,

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=

    时,左边=;

    上述各数中,1009851122是不等式的解;0,-1,-3,-5不是不等式的解.

    3. 2018·全国七年级课时练习)把下列不等式的解集在数轴上表示出来.

    (1)x≥3   (2)x>-1    (3)x≤3(4)x<.

    【答案】(1)

    (2)

    (3)

    (4)

    【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.

    试题解析:

    1)将表示在数轴上为:

    2)将表示在数轴上为:

    3)将表示在数轴上为:

    4)将表示在数轴上为:

    点拨:将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点:(1大于(大于或等于)向右,小于(小于或等于)向左;(2或()时,数轴上表示数的点用空心圆圈(或)时,数轴上表示数的点用实心圆点”.

     举一反三:

    【变式】 2020·全国八年级课时练习)在数轴上表示不等式﹣3≤x6的解集和x的下列值:﹣4﹣207,并利用数轴说明x的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x6,哪些不满足?

    【答案】﹣20满足不等式;﹣47不满足不等式

    【分析】根据大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心的原则将不等式的解集和x的下列值:﹣4﹣207在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式.

     解:根据图可知:x的下列值:﹣20满足不等式;x的下列值:﹣47不满足不等式.

    点拨

    不等式的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,向右画;<,向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”“≤”要用实心圆点表示;要用空心圆点表示.

     

    类型三、不等式的性质

    4. 2021·全国八年级)根据不等式的基本性质,把下列不等式化成的形式. 

    1    2     3    4

    【答案】1;(2;(3;(4

    【分析】

    1)利用不等式的性质将两边加上即可求解;

    2)利用不等式的性质先将两边加上,再两边同除以即可求解;

    3)利用不等式的性质先将两边减去,再两边同除以即可求解;

    3)利用不等式的性质将两边同除以-即可求解;

    解:1

    两边加上得:

    解得:

    2

    两边加上得:,即

    两边除以得:

    3

    两边减去得:,即

    两边除以得:

    4

    两边除以得:

    点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质.

    举一反三:

    【变式】 2020·全国八年级课时练习)根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”“x<a”的形式:

    15x>4x+8     2x+2<-1       3-x>-1

    410-x>0      5-x<-2       63x+5<0

    【答案】1x>8;(2x<-3;(3x<;(4x<10;(5x>10;(6x<-

    【分析】根据不等式的基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;依次分析各小题即可.

     解:(1)根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,

    5x-4x>4x+8-4x,即x>8

    2)根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,

    x+2-2<-1-2x<-3

    3)根据不等式性质3,不等式两边同除以-,不等号的方向改变,

    --<-1÷-)即x<

    4)根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,

    10-x-10>0-10-x>-10

    再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10

    5)根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,

    --5>-2×-5)即x>10

    6)根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变

    3x+5-5<0-53x<-5

    再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,

    3x÷3<-5÷3x<-

    点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方.

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