初中数学人教版七年级下册9.2 一元一次不等式学案及答案

专题9.3  一元一次不等式（知识讲解）

【学习目标】

1．理解一元一次不等式的概念；

2.会解一元一次不等式．

【要点梳理】

要点一、一元一次不等式的概念

    只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．

要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．

3.不等式的解集在数轴上表示：

   在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．

要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左．

【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念 

1． 在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．

解：-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；

是整式，不是一元一次不等式；

x=3是方程，不是一元一次不等式；

x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；

x≠5是一元一次不等式；

x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；

∴是一元一次不等式的有1个

故选：A．

【点拨】

本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．

举一反三：

【变式】若是关于的一元一次不等式，则_______．

【答案】0

【分析】根据一元一次不等式的定义可得，求解即可．

解：根据题意得，

解得；，

故答案为：.

【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．

类型二、求一元一次不等式的解集

2．若代数式的值小于，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意列不等式求解即可．

解：由题意得：<，

解得x<6，

故选：C．

【点拨】此题考查解不等式，正确理解题意列出不等式是解题的关键．

举一反三：

【变式】若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为________．

【答案】．

【分析】

直接把两个方程相加，得到，然后结合，即可求出a的取值范围．

 解：，

直接把两个方程相加，得：，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握运算法则，正确得到．

类型三、求一元一次不等式的整数解

3．不等式的非负整数解共有__个．

【答案】4

【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．

解：，

，

，

解得：，

则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．

故答案为：4．

【点拨】此题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式】3．不等式≤的正整数解有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．

解：3（x-1）≤5-x
3x-3≤5-x，
则4x≤8，
解得：x≤2，
故不等式3（x-1）≤5-x的正整数解有：1，2共2个．
故选：B．

【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键．

类型四、在数轴上表示不等式的解集

4、解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】；数轴见解析

【分析】

根据一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1，即可得到的范围，再把所得的的范围在数轴上表示出来即可．

解：，

去分母，得，

去括号，得，

移项、合并同类项，得，

系数化为，得．

在数轴上表示此不等式的解集如图：

【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，解题关键是明确不等式的性质，两边同时除以一个负数不等号的方向要改变，在数轴上表示不等式的解集时“”，“”向右画，“”，“”向左画，“”，“”用实心点，“”，“”用空心圆．

举一反三：

【变式】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】，在数轴上表示见解析

【分析】利用不等式的性质解一元一次不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可．

解：，

去括号，得： ，

移项、合并同类项，得： ，

化系数为1，得： ，

∴不等式的解集为，

 不等式的解集在数轴上表示为：

【点拨】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，会在数轴上表示不等式的解集是解答的关键，特别注意不等号的方向和端点的空（实）心．

类型五、求一元一次不等式解集的最值

5．已知关于x、y的方程组的解满足．

（1）求的取值范围；

（2）已知，且，求的最大值．

【答案】（1）;（2）-7

【分析】

（1）先利用加减消元法解二元一次方程组,用a表示的x、y,根据方程组的解满足不等式可得关于a的不等式,解不等式即可．

（2）根据,得,即可用a表示, ,由（1）问a的范围,利用等式的基本性质求出5a-12的范围,即可求出z的范围．

解：（1）由题,

由有得．

（2）由题,则, 

由有． 

所以的最大值为．

【点拨】本题考查二元一次方程组,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法．

举一反三：

【变式】关于x、y的方程组的解满足x﹣2y≥1，求满足条件的k的最大整数值．

【答案】满足条件的k的最大整数值为2．

【解析】

【分析】

将两方程相减得出x,y的值，再把x,y的值代入x﹣2y≥1，即可解答

【详解】

解关于x，y的方程组 ，得 ，

把它代入x﹣2y≥1得，3﹣k﹣2（3k﹣6）≥1，

解得k≤2，

所以满足条件的k的最大整数值为2．

【点拨】此题考查二元一次方程组的解和解一元一次不等式，解题关键在于求出x,y的值再代入。

6．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：

解：（1）当，即时：

解这个不等式，得：

由条件，有：

（2）当，即时，

解这个不等式，得：

由条件，有：

∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为

根据以上思想，请探究完成下列2个小题：

（1）；   

（2）．

【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．

【分析】

（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．

解：（1）|x+1|≤2，
①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，
解这个不等式，得：x≤1
由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2
解这个不等式，得：x≥-3
由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1    
∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1
①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1
解这个不等式，得：x≥3
由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，
解这个不等式，得：x≤1，
由条件x＜2，有：x≤1，
∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．

【点拨】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．

举一反三：

【变式】解不等式：

【答案】x＜-5或x＞1

【分析】

根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并．

解：令，解得：x=±4，

令，解得：x=，

∴当x＜-4时，，

解得：x＜-5，

∴此时x＜-5；

当-4≤x＜时，，

解得：x＜-7，

∴此时无解；

当≤x＜0时，，

解得：x＞，

∴此时无解；

当0≤x＜4时，，

解得：x＞1，

∴此时1＜x＜4；

当x≥4时，，

解得：x＞3，

∴此时x≥4；

综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．

【点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集．

类型七、列一元一次不等式

7．对于实数，定义关于“”的一种运算：．例如．

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围；

（3）若，，求和的值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

(1)利用题目中的新定义进行计算即可；

(2) 利用题目中的新定义列出不等式再进行计算即可；

(3)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可．

解：（1）根据题中的新定义，得原式；

（2）根据题中的新定义，得，

解得．

（3）根据题中的新定义化简，得，

解得．

【点拨】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，本质还是要熟练掌握二元一次方程的解法．

举一反三：

【变式】已知关于x的方程：的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的值有（   ）种．

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【分析】先用含a的式子表示出原方程的解，再根据解为非正整数，即可求得符合条件的所有整数a．

解：

∵方程的解是非正整数，

∴

∴

∴或2或4或8

∴a=0或2或-2，共3个

故选：A

【点拨】本题考查了一元一次方程的解法及解不等式，根据方程的解为非正整数列出关于a的不等式是解题的关键．

类型八、用一元一次不等式解决实际问题

8．在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？

【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.

【分析】

（1）根据题意列方程求解；

（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率得到乙队的施工天数，令施工总费用为w万元，求出w与m的函数解析式，根据m的取值范围以及一次函数的性质求解即可．

解：（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x，3x天，

由题意得：，

解得：，

经检验：是原方程的根，

∴，，

答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；

（2）由题意得：，

令施工总费用为w万元，则．

∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，

∴，，

∴，

∴当时，完成此项工程总费用最少，此时，元，

答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.

【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．

举一反三：

【变式】足球比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分．一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现在已比赛8场，输了1场，共得17分．问：

（1）前8场比赛中，这支球队共胜多少场？

（2）打满14场比赛，最高能得多少分？

（3）到比赛全部结束，若这支球队得分不低于29分，则后面的比赛至少要胜几场才能达到预期目标？

【答案】（1）5,（2）35分，（3）至少要胜3场

【分析】

（1）根据8场比赛的得分，列出方程求解即可；

（2）6场比赛均胜的话能拿到最高分；

（3）由题意进行分类讨论，可得出结果．

【详解】

解：（1）设这个球队胜场，则平了场，

根据题意，得：．

解得，，即这支球队共胜了5场；

（2）所剩6场比赛均胜的话，最高能拿（分；

（3）由题意知以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，所以胜4场，就能达到预期目标，

而胜三场、平三场，即，正好达到预期目标，故至少要胜3场．

【点拨】读懂题意，将现实生活中的事件用数学思想进行求解，转化为方程和不等式的问题求解，使过程变得简单．

类型九、用一元一次不等式解决几何问题

9．问题提出：

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则．

问题解决：

如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小；

主图形得：；，，

∵，∴，则；

类比应用：

（1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小；

联系拓展：

（2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

【答案】(1)；(2) 图5的方法用绳最短，图6的方法用绳最长

【分析】

(1)根据两个代数式之差大于0，即可做出判断；

(2)分别表示出图4的捆绑绳长为L1，图5的捆绑绳长为L2，图6的捆绑绳长为L3，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系．

解：(1)()

，

∵，

∴，

∴；

(2)  设图4的捆绑绳长为L1，则L1，
设图5的捆绑绳长为L2，则L2，
设图6的捆绑绳长为L3，则L3，
∵L1-L2，
∴L1＞L2，
∵L3-L2，
∴L3-L1=，
∵，
∴，
∴L3＞L1．
∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长．

【点拨】本题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键．

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A（0，4）．B、C两点的坐标分别为B（m，0）、C（n，0），且m、n满足：．

（1）求线段BC的长．

（2）若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB向终点B匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．如果时间为t，PQ的长度为d，请用含t的式子表示d．

（3）在（2）的条件下，若△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，求出t的范围．

【答案】（1）BC＝8；（2）当0≤t≤时，d＝8﹣3t；当＜t≤8时，d＝3t﹣8；（3）0≤t≤或4≤t≤8．

【分析】

（1）解方程组可求m，n的值，即可求解；

（2）分相遇前和相遇后两种情况讨论，由路程＝速度×时间，可求解；

（3）分两种情况讨论，由面积公式列出不等式，即可求解．

解：（1）∵m、n满足：，

∴解得，

∴点B（﹣5，0），点C（3，0），

∴BC＝8；

（2）点B（﹣5，0），点C（3，0），

分两种情况讨论：

当0≤t≤时，即点P、Q相遇前，

d＝8﹣3t；

当＜t≤8时，当P、Q相遇后，

d＝3t﹣8，

综上所述，d＝8﹣3t或d＝3t﹣8；

（3）当0≤t≤时，∵△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，

∴×4×（8﹣3t）≥××4×8，

∴t≤，

∴0≤t≤；

当＜t≤8时，∵△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，

∴×4×（3t﹣8）≥××4×8，

∴t≥4，

∴4≤t≤8，

综上所述：当0≤t≤或4≤t≤8时，△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一．

【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，其中涉及分类讨论法、线段上的动点与线段的和差、一元一次不等式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．