2020-2021学年第五章 相交线与平行线综合与测试导学案及答案

这是一份2020-2021学年第五章 相交线与平行线综合与测试导学案及答案，共40页。学案主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题5.25 《相交线与平行线》平行线、角平分线问题（提高篇）
（专项练习）
一、解答题
1．如图所示，，为上方一点，分别为上两点，，，和的角平分线交于点，求的值.



2．（1）如图，，平分，若，，求的度数；

（2）如图，，，平分，若的2倍与的补角的和为，求的度数.

（3）如图，为（2）中射线上一点，是上任一点，平分，，平分，求的度数.




3．如图，已知，，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数
（2）当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，，求此时的度数．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴;C是Y轴上一点，连接AC,作CD⊥CA．
（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系.
（2）如图(2)，在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD的度数．
（3）如图（2）,在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q,请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．
（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．

5．如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D=∠ABC=80°，∠1=∠2，AN平分∠DAM．
（1）试说明AD∥BC的理由；
（2）试求∠CAN的度数；
（3）平移线段BC．
①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；
②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND=∠ACB，试求此时∠ACB的度数．

6．如图①，已知AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，点P是两平行线之间的一点，设∠AEP=α，∠PFC=β，在图①中，过点E作射线EH交CD于点N，作射线FI，延长PF到G，使得PE、FG分别平分∠AEH、∠DFl，得到图②．
（1）在图①中，过点P作PM∥AB，当α=20°，β=50°时，∠EPM=　 　度，∠EPF=　 　度；
（2）在（1）的条件下，求图②中∠END与∠CFI的度数；
（3）在图②中，当FI∥EH时，请直接写出α与β的数量关系．

7．阅读材料：
如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.
小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.
请按照小白的想法完成解答：

拓展延伸：
保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.
8．（1）如图1，AC平分ÐDAB，Ð1=Ð2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明：
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点P满足ÐABP=30°，G是CD上任一点，PQ平分ÐBPG，PQ∥GN，GM平分ÐDGP，下列结论：
①ÐDGP-ÐMGN的值不变；
②ÐMGN的度数不变．
可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．

9．如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）写出∠EDC的度数_____；
（2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；
（3）将线段BC向右平行移动，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）

10．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E.F在DM上，连接BE.BF.CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE，求∠EBC的度数.


11．已知射线与直线交于点，平分，于点，．

（1）如图1，若；
①求的度数；
②试说明平分．
（2） 如图2，设的度数为，当为多少度时，射线是的三等分线？并说明理由．

12．如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究．

（1）如图1，展开后，测得，则可判定a//b，请写出判定的依据_________；
（2）如图2，若要使a//b，则与应该满足的关系是_________；
（3）如图3，纸带两条边线a，b互相平行，折叠后的边线b与a交于点C，若将纸带沿（，分别在边线a，b上）再次折叠，折叠后的边线b与a交于点，AB//，，求出的长．


13．（1）如图1，AB∥CD，点M为直线AB，CD所确定的平面内的一点，若∠A=105°+a，∠M=108°-a，请直接写出∠C的度数 ；
（2）如图2，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，点E在直线CD上，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M，若∠P=30°，求∠AMC的度数；
（3）如图3，点P与直线AB，CD在同一平面内，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCD的平分线于M，若ÐAMC=180°-ÐP，求证：AB∥CD．

14．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．

15．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EFAB，
则有∠BEF＝∠B．
∵ABCD，
∴EFCD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．

16．如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且分别平分，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．

17．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）①∠ABN的度数是　 　；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠　 　；
（2）求∠CBD的度数；
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　 　．
18．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，．

（1）求的值；
（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值；
（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若，则的值是__________．

参考答案
1．.
【分析】先设，，由题意可得，，，
由，，从而求出x,y；根据题意得， ， 从而得到的值.
解：设，，由题意可得，，，
由，，解得，；由靴子图AEGFC知，，由靴子图AEHFC知，，即，，
.
点拨本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，由题意得到x，y的关系式.
2．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由两直线平行同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和来证明即可；
（2）设∠ABF=x，∠DCF=y，先由角平分线的性质可得∠EBF=2x，∠ECF=y，然后再由两直线平行的性质及三角形的外角的性质和已知条件来求解即可；
（3）设∠BPQ=x，∠MGN=y，由角平分线的性质可得∠QPG=∠NGP=x，∠DGM=x+y，再由平行线的性质可求得∠MGN.
解：解：（1）∵AB∥CD，
∴，
，，
；
（2）设，，
∴，，
∵AB∥CD，
∴，即，①，
由鸟嘴图DVFBA知，，即，②，
由已知得③，
将①、②代入③得，
∴；
（3）设，，
∴，，
由鸟嘴图知得，，
即.
点拨本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
3．（1）60°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°
【分析】
（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；
解：解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC=∠ABN=30°，
点拨本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（1）∠CAO+∠CDB=90º；（2）∠APD=45º；（3）∠APD+∠AQD=180º；（4）∠APD的大小不变，为45º
【分析】
（1）根据CD⊥CA、∠AOC=90°知∠DCB=∠OAC，由∠CBD=90°可得∠DCB+∠CDB=90°，即∠CAO+∠CDB=90°；
（2）延长AP交MN于点E，结合（1）中结论，利用角平分线可得∠1+∠2=45°，再由平行线的性质和三角形外角性质可得；
（3）由AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx且∠OAC+∠CAx=180°可得∠PAQ=90°，同理知∠PDQ=90°，根据四边形内角和可得结论；
（4）设∠CAQ=2α、∠CQA=2β，由∠ACD=90°得2α+2β=90°即α+β=45°，根据角平分线的性质及平行线性质可得∠QDP=β，∠CAQ＝∠CAQ=α，由∠CQA=90°-α利用外角性质可得答案．
解：（1）如图，∵CD⊥CA，
∴∠ACO+∠DCB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠DCB=∠OAC，
又∵∠CBD=90°，
∴∠DCB+∠CDB=90°，
∴∠CAO+∠CDB=90°；
（2）如图2，延长AP交MN于点E，

∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，
∴∠1=∠CAO、∠2=∠CDB，
∵∠CAO+∠CDB=90°，
∴∠1+∠2=45°，
∵MN∥OA，
∴∠1=∠3，
∴∠APD=∠2+∠3=∠1+∠3=45°；
（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，
∴∠PAC=∠OAC、∠QAC=∠CAx，
∵∠OAC+∠CAx=180°，
∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=（∠OAC+∠CAx）=90°，
同理得∠PDQ=90°，
∴∠APD+∠AQD=360°-（∠PAQ+∠PDQ）=180°；
（4）∠APD的大小不变，为45°；

设∠CAQ=2α，∠CQA=2β，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAQ+∠CQA=90°，即2α+2β=90，α+β=45，
∵AO∥MN，
∴∠CQA=∠CDB=2β，
∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，
∴∠QDP=∠CDB=β，∠CAQ＝∠CAQ=α，
则∠CQA=90°-∠CAQ=90°-α，
∴∠APD=∠CQA-∠CDB=90°-α-β=45°．
点拨：考查角平分线的性质、三角形外角性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质、三角形外角性质是解题的关键．
5．（1）见解析；(2) ∠CAN＝50°；(3)①不会, ∠AMD：∠ACD＝2；②∠ACB＝75°．
【分析】
（1）由平行线的性质和判定即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和角的和差可以得到结论；
（3）①不会．根据平行线的性质即可得到结论；
②由平行线的性质和∠AND＝∠ACB，得到∠NAB＝∠DAC，进而得到∠1＝∠DAN，即可得到结论．
解：（1）∵AP∥DQ，∴∠D＋∠DAB＝180°．
∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．
∵∠ABC＝80°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC．
（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．
∵∠1＝∠2， ∴∠CAM＝∠BAM．
∴∠NAM＋∠CAM＝∠DAM＋∠BAM，
即：∠CAN＝∠DAB
∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°．
（3）①不会．
∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，
∴∠AMD：∠ACD＝2．
②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC．
∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB－∠NAC＝∠DAC－∠NAC，
即：∠1＝∠DAN，∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，
∴∠ACB＝∠DAC＝75°．
点拨：灵活运用平行线的性质和判定是解答本题的关键．
6．（1）20，70；（2）80°；（3）90°；
【分析】
（1）由PM∥AB根据两直线平行，内错角相等可得∠EPM=∠AEP=20°，根据平行公理的推论可得PM∥CD，继而可得∠MPF=∠CFP=50°，从而即可求得∠EPF；
（2）由角平分线的定义可得∠AEH=2α=40°，再根据AD∥BC，由两直线平行，内错角相等可得∠END=∠AEH=40°，由对顶角相等以及角平分线定义可得∠IFG=∠DFG=β=50°，再根据平角定义即可求得∠CFI的度数；
（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，由AB∥CD，可得∠END=2α，当FI∥EH时，∠END=∠CFI，据此即可得α+β=90°．
解：（1）∵PM∥AB，α=20°，
∴∠EPM=∠AEP=20°，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴PM∥CD，
∴∠MPF=∠CFP=50°，
∴∠EPF=20°+50°=70°，
故答案为20，70；
（2）∵PE平分∠AEH，
∴∠AEH=2α=40°，
∵AD∥BC，
∴∠END=∠AEH=40°，
又∵FG平分∠DFI，
∴∠IFG=∠DFG=β=50°，
∴∠CFI=180°-2β=80°；
（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，
∵AB∥CD，
∴∠END=∠AEN=2α，
∴当FI∥EH时，∠END=∠CFI，
即2α=180°-2β，
∴α+β=90°．
点拨本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键.
7．阅读材料：，见解析；拓展延伸：.
【分析】
（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.
（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH =120°-，即可得.
解：【阅读材料】
作，，（如图1）.

∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴，.
∴.
∵，
∴.
【拓展延伸】
结论：.
理由：如图，作，过H点作HP∥MN，

∴∠PHA=∠MAH=，
由（1）得FC∥MN，
∴FC∥HP，
∴∠PHC=∠FCH，
∵,CG平分∠ECD，
∴∠ECG=20°+，
∴∠FCH=
=180°-()-(20°+)
=120°-
∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-
即：.
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
8．（1）见详解；（2）②正确，ÐMGN的度数为15°，理由见详解．
【分析】
（1）由AC平分ÐDAB，Ð1=Ð2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．
解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵AC平分ÐDAB，
∴∠1=∠BAC，
∵Ð1=Ð2，
∴∠2=∠BAC,
∴AB∥CD；
（2）②ÐMGN的度数不变是正确的，理由如下：
∵PQ平分ÐBPG，GM平分ÐDGP，
∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∵∠1=∠BPG+∠B，
∴∠MGP=∠1=（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=（∠BPG+∠B）-∠BPG=∠B=×30°=15°，
∴ÐMGN的度数不变，度数为15°．

点拨本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．
9．（1）40°；（2）∠BED＝n°+40°；（3）∠BED的度数变化，度数为n°+40°或220°﹣n°或n°﹣40°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义，即可得到；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可；
（3）过点作，然后分类讨论：①点在点的左边，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求解；②点在点的右边时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可．
解：（1）∵平分，，
∴，
故答案为：；
（2）如图1：

过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）过点作，
①如图1：

点在点的右边时，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
②如图2：

点在点的左边时，若点在直线和之间，则
过点作，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
③如图3：

点在点的左边时，若点在直线的上方，则，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．

④如图4：

点在点的左边时，若点在直线的下方，则
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴将线段BC向右平行移动，其他条件不变，∠BED的度数为或或．
点拨本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质以及分类讨论，根据题意作出平行线，再由平行线的性质及三角形外角、对顶角的性质即可得出结论．
10．(1)90°；(2)详见解析;(3)105°
【分析】
（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
解：解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.

点拨本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
11．（1）①150°；②说明见解析；（2）18°或45°，说明见解析.
【分析】
（1）①根据题意可求∠BOF=30°，由平角定义可求∠DOF的度数
②通过题意可求∠AOD=∠BOG=60°，即可得OD平分∠AOG
（2）设∠AOD=β，分∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD，两种情况讨论，根据题意可列方程，可求β的值，即可得α的值．
解：（1）①∵AE∥OF
∴∠A=∠BOF
∵OF平分∠COF
∴∠BOC=60°，∠COF=30°
∴∠DOF=180-30°=150°
②∵∠BOC=60°
∴∠AOD=60°
∵OF⊥OG
∴∠BOF+∠FOG=90°
∴∠BOG=60°
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴∠DOG=60°=∠AOD
∴OD平分∠AOG
（2）设∠AOD=β
∵射线OD是∠AOG的三等分线
∴∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD
若∠AOD=2∠DOG
∴∠DOG=β
∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC
∴∠BOF=β
∵OF⊥OG
∴∠BOG=90-α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴β+90-β+β=180°
∴∠β=90°
∴∠BOF=45°
∵OF∥AE
∴∠A=∠BOF=45°
即α=45°
若∠DOG=2∠AOD=2β
∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC
∴∠BOF=β
∵OF⊥OG
∴∠BOG=90-α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴2β+90-β+β=180°
∴∠β=36°
∴∠BOF=18°
∴OF∥AE
∴∠A=∠BOF=18°
∴α=18°
综上所述α为18°或45°
点拨本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，根据题意列方程是本题的关键．
12．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10
【分析】
（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；

（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∥b，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；
（3）分两种情况：①当B1在B的左侧时，如图2，当B1在B的右侧时，如图3，分别求出的长，即可得到答案．
解：（1）∵，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案是：内错角相等，两直线平行；
（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，
若a∥b，则∠3=∠2，
∴∠4=∠2，
∵∠2+∠4+∠1=180°，
∴∠1+2∠2=180°，
∴要使a∥b，则与应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．
故答案是：∠1+2∠2=180°；
（3）①当B1在B的左侧时，如图2，
∵AB//，a∥b，
∴AA1=BB1=3，
∴=AC- AA1=7-3=4；
②当B1在B的右侧时，如图3，
∵AB//，a∥b，
∴AA1=BB1=3，
∴=AC+AA1=7+3=10．
综上所述：=4或10．

点拨本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．
13．（1）；（2）；（3）证明过程见解析
【分析】
（1）直接添加辅助线AC，结合三角形的内角和以及平行线的同旁内角即可求解；
（2）延长BA与CP交于Q，记CQ和AM交于点H，先根据AN平分∠PAB，利用三角形的外角和对顶角，用含∠BAN的式子来表示∠MHC，再∵AB∥CD，得到，通过CM平分∠PCE，得到∠MCH可以用含∠BAN的式子来表示，最后利用三角形的内角和即可求出答案；
（3）添加辅助线AC，则，，结合已知ÐAMC=180°-ÐP，得到，即可求到的值，通过角平分线就知道了，即可求到，就得到了AB∥CD．
解：（1）如图，连接AC，

在中，，
∵AB∥CD，
，
，
∵∠A=105°+a，∠M=108°-a，
∴；
（2）如图，延长BA与CP交于Q，记CQ和AM交于点H，

∵AN平分∠PAB，
，
，
∵∠P=30°，
∴，
，
∵AB∥CD，
，
∵CM平分∠PCE，
，
，；
（3）如图，连接AC，

则，，
∵ÐAMC=180°-ÐP，
，
，
即，
∵AN平分∠PAB，MC平分∠PCD，
，
，
，
∴AB∥CD．
点拨本题考查的平行线及三角形的综合知识，在这里要注意添加根据题意添加合适的辅助线，这里需要用到三角形的内角和、平行四边形的性质、角平分线的性质以及对顶角等综合性质，难度稍大．
14．（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3
【分析】
（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；
（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；
（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．
解：（1）∵直线n∥直线l，
∴∠DBC＝∠BDN，
又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，

∵BG∥m，l∥m，
∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG∥m，
∴∠3＝DBG，
又∵BG∥l，
∴∠LAB＝∠ABG，
∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB互为余角，
∴∠LAB＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
（3）结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN平分∠BCA，
∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，
又∵直线n∥直线l，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
点拨考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．
15．（1）65°；（2）
【分析】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=30°，∠EDC=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；

（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=，∠EDC=∠ADC=，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣ +．
答：∠BED的度数为180°﹣ +．
点拨本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
16．（1）4；（2）；（2）或．
【分析】
（1）根据非负数的性质易得，，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过作，根据平行线性质得，且，，所以；然后把 代入计算即可；
（3）分类讨论：设，当在轴正半轴上时，过作轴，轴，轴，利用可得到关于的方程，再解方程求出；
当在轴负半轴上时，运用同样方法可计算出．
解：解：（1），
，，
，，

，，，
的面积；
（2）解：轴，，
，
又∵，
∴，
过作，如图①，

，
，
，
，分别平分，，即：，，
；
（3）或．
解：①当在轴正半轴上时，如图②，

设，
过作轴，轴，轴，
，
，解得，
②当在轴负半轴上时，如图③


，解得，
综上所述：或．
点拨本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．
17．（1）① ②；（2）；（3）不变，，理由见解析；（4）
【分析】
（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；
（2）由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；
（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（4）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
解：解：（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为：116°；
②∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
故答案为：CBN；
（2）∵AM//BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM//BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（4）∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
故答案为：29°．
点拨本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．
18．（1）260° ；（2）40°；（3）
【分析】
（1）如下图，过点作，可得出，然后利用平行的性质进行角度转换可得出答案；
（2）如图，过点作，过点作，然后设，，利用方程思想进行角度推导，可得出答案；
（3）如下图，过点O作AB的平行线OQ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出n的值．
解：（1）证明：过点作

∵
∴
∴，
∴
即
∵
∴
（2）解：过点作，过点作，

∵平分，平分
设，
∵∴
∴
∵，，
∴
∴，，
∴


（3）如下图，过点O作AB的平行线OQ

设∠NEO=x，则∠AEN=nx
设∠OFM=y，则∠MFD=ny
∵AB∥CD，AB∥OQ
∴AB∥OQ∥CD
∴∠EOQ=∠AEO=(n+1)x，∠QOF=180°－(n+1)y
∵∠EOF=100°
∴∠EOQ+∠QOF=100°，化简得：(n+1)(y－x)=80°
在△NPE中，∠ENP=180°－x－∠NPE
在四边形POFM中，∠PMF=360°－y－100°－∠OPM
∵∠PMF－∠ENP=50°
∴∠PMF－∠ENP=50=360°－y－100°－∠OPM－(180°－x－∠NPE)
∵∠NPE=∠OPM
∴∠PMF－∠ENP化简后得：150°+(y－x)=180°
∴y－x=30°
∵(n+1)(y－x)=80°
∴解得：n=．
【点拨】本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解．