初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试学案设计

这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试学案设计，共55页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题5.12 《相交线与平行线》几何模型1（专项练习）
一、单选题
1．（2020·辽宁大连市·七年级期末）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
2．（2020·环县环城初级中学七年级期末）如图，已知，则∠BCE的度数为（ ）

A．70° B．65° C．35° D．55°
3．（2020·广西柳州市·七年级期末）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
4．（2020·湖北随州市·九年级其他模拟）如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（　　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
5．（2020·重庆南岸区·七年级期末）如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．
6．（2020·河南郑州市·七年级期末）如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ）

A．101° B．103° C．105° D．107°
7．（2020·广西河池市·八年级期末）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
8．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（　　）

A．100° B．60° C．40° D．20°
9．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°
10．（2020·浙江绍兴市·七年级期末）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ）

A． B．
C． D．
11．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
12．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，AB//CD， 则______

13．（2020·湖北武汉市·七年级期末）如图，，平分，，，则__________．

14．（2020·湖北襄阳市·七年级期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．

15．（2020·浙江绍兴市·七年级期末）如图，已知AB//CD，，，，则____度．

16．（2020·北京北师大实验中学七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1，，为、之间一点，连接， 得到.

求证:
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.
（1）如图，若，，则___________.

（2）如图，，平分，平分，，则___________.

17．（2015·山西九年级专题练习）如图，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，则∠CAD＝_____度．

18．（2015·山西九年级专题练习）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠=_________.

19．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，已知，那么_______度．


三、解答题
20．（2020·惠州市江南学校八年级期中）如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．

21．（2020·辽宁辽阳市·七年级期末）请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
22．（2020·江苏淮安市·七年级期末）在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：

证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
23．（2020·河南省直辖县级行政单位·）如图，ABCD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．
在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：
（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　 　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQnF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

24．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知．

（1）求的度数；
（2）若平分，与的延长线交于点，且，求的度数．
25．（2020·湖南岳阳市·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

26．（2020·湖北武汉市·七年级期末）如图l，点在上，点在上，点在直线之间，连接 ．


（1）直接写出的度数为 ；
（2）如图2，平分，交的延长线于点证明：


（3）如图3，点在的延长线上，点在上，点在内，连 ，则的值为 ．


27．（2020·云南昆明市·七年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接
问题提出:
（1）请直接写出点的坐标 ， ，及四边形的面积 ﹔
拓展延伸:
（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.

迁移应用:
（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.

28．（2020·辽宁大连市·七年级期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．

29．（2020·江苏淮安市·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．


思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 　°；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
30．（2020·内蒙古一机集团有限公司第四中学七年级期中）(1)同题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．

31．（2020·民勤县第六中学七年级期中）如图，已知AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠P和∠A，∠C的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．
结论：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）选择结论____________，说明理由．

32．（2018·湖北荆门市·七年级期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．

33．（2018·江西上饶市·七年级期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
34．（2019·河南平顶山市·七年级期中）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．

35．（2018·江苏南京市·鼓楼实验中学七年级月考）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，ÐA=140°，ÐC=165°．
（1）求ÐB的度数；
（2）当ÐD= °时，AB∥DE？为什么？

36．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，，，，求的度数.

37．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，，分别为外侧两点，分别为上两点，连结，，，求证：.

38．（2019·阜宁县容山中学）已知如图所示，，，，求的度数.

39．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，直线，，，求的度数.

40．（2018·南京市金陵汇文学校七年级月考）如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数.


参考答案
1．B
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【详解】
如图，过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故选B．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.
2．B
【分析】
过点C作CF平行于AB，根据平行线的性质及题意可直接求出．
【详解】

过点C作，


．
故选B．
【点拨】
本题主要考查平行线的性质定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．C
【分析】
过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．

【点拨】
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
4．B
【分析】
过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．

【点拨】
本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
5．D
【分析】
通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【详解】
解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
【点拨】
本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
6．B
【分析】
如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【详解】
解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故选：B．

【点拨】
该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
7．C
【解析】
试题分析：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选C．

考点：垂线的定义；平行线的性质；三角形的外角性质

8．A
【详解】
解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．

【点拨】
本题考查平行线的判定与性质．
9．B
【分析】
由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点B作直线，

∵直线m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．
10．C
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，
    
∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
11．C
【分析】
过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】
过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．

【点拨】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
12．40°
【分析】
首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【详解】
解：过点作，
，
，
，，
．
故答案为：．

【点拨】
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．
13．
【分析】
过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．
【详解】
解：过E点作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D，
∴∠BED=∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF=∠BED，
∵∠DEF+∠D=66°，
∴∠BED+∠D=66°，
∴∠BED+2∠D=132°，
即∠B+3∠D=132°，
∵∠B-∠D=28°，
∴∠B=54°，∠D=26°，
∴∠BED=80°．
故答案为：80°．
【点拨】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．
14．38°
【分析】
过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【详解】
如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案为：38°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
15．90
【详解】
解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，
∴，，
，，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即：，
∴．
故答案为：90．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．
16．240° 51°
【分析】
（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．
【详解】
（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，

AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案为：（1）240°；（2）51°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
17．60
【解析】
∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°，
∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAC+∠CBE=90°，
∵∠CBE=30°，∴∠CAD=60°.
故答案为60.
点拨：本题关键在于结合平行线的性质与三角形内角和解题.
18．20°
【解析】试题分析：延长CB交直线m于D，根据根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠α．
试题解析：如图，延长CB交直线m于D，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵l∥m，
∴∠1=40°．
∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．
19．540
【分析】
分别过E、F作AB的平行线，运用平行线的性质求解．
【详解】
作EM∥AB，FN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故答案为540°．
【点拨】
此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．
20．110°．
【分析】
作BF∥AE，由平行线的性质得∠A+∠ABF=180º，可求∠ABF=180º-∠A，由∠B＝110°，可求∠CBF=∠ABC-∠ABF=70º，由AE∥CD，推出BF∥CD，利用平行线的性质∠FBC+∠C=180º，可求∠C．
【详解】
如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．
作BF∥AE，
∴∠A+∠ABF=180º，
∵∠A＝140°，
∴∠ABF=180º-∠A=40º，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110º-40º=70º，
∵AE∥CD，
∴BF∥CD，
∴∠FBC+∠C=180º，
∴∠C=180º-∠FBC=180º-70º=110º．

【点拨】
本题考查平行线的性质问题，关键是掌握平行线的判定与性质，会利用平行线的性质求角，会作平行线，利用平行线的判定方法证明两线平行．
21．（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】
（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
【详解】
（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，
即∠B+∠A+∠C=360º；
（4）如图（4），设BE与AC相交于D，
∵与平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如图（5），设CF与AB相交于D，
∵与平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．

【点拨】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．
22．BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行
【分析】
根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】
证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【点拨】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
23．（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由见解析；（3）∠EPF+（2n+1）•∠EQnF＝360°．
【分析】
（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；
（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根据（1）中的解题方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；
猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
即∠EPF＝2∠EQF；
故答案为55°；
（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：
如图2，过P作PMAB，过Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），
∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β），
…
则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），
∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，
∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°．

【点拨】
本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角的规律等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24．（1）∠GFD=34°；（2）∠BEG=54°．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质即两直线平行内错角相等进行分析即可求解；
（2）根据题意过点G作GI//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：（1）∵AB//CD，
∴∠C=∠CAH=34°，
∵AC//GF，
∴∠GFD=∠C=34°
（2）过点G作GI//AB

∴∠HGI=∠H=10°，
∵AB//CD，
∴GI//CD
∴∠IGF=∠GFD=34°，
∴∠HGF=∠HGI+∠IGF=10°+34°=44°，
又∵HG平分∠EGF
∴∠HGE=∠HGF=44°，
∴∠BEG=∠HGE+∠HGI=44°+10°=54°.
【点拨】
本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
25．(1)110°；（2）①；②或
【分析】
（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数；
（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．
【详解】
解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：

，所以：
，
所以，；
（2）①，理由如下：
如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

，
∵，∴；
②分两种情况讨论：
第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

；
第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：


【点拨】
本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．
26．（1）108°；（2）见解析；（3）72°
【分析】
（1）过点F作FG∥AB，推出∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，结合已知即可求解；
（2）过点F作∥AB，过点M作∥，设∠FHD=，利用平行线的性质得到∠3=∠EFH-∠ =108°-，利用邻补角和角平分线的定义得到∠1=，根据∠=∠1列出等式即可证明；
（3）过点F作FG∥AB，延长NK交CD于Q，设∠FHD=，根据平行线和邻补角的性质推出∠PEB=180-∠BEF =180-108+=72+，结合已知得到∠NEB=∠PEB=(72+)，利用∠NKB=∠NEB+∠ENK，列出等式即可求解．
【详解】
（1）过点F作FG∥AB，

∵CD∥AB，
∴FG∥CD∥AB，
∴∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH=360，
又∵∠AEF+∠CHF=∠EFH，
∴∠EFH +∠EFH=360，
解得：∠EFH=108；
故答案为：108；
（2）过点F作∥AB，过点M作∥，
设∠FHD=，

∵AB∥CD，
∴∥∥AB∥CD，
∴∠=，
∴∠3=∠EFH-∠ =108°-，
∴∠=∠3=108°-，
∵∠1=∠2，
∴∠1=，
∵∥CD，
∴∠=∠1，
∴∠FMH+108°- =，
∴2∠FMH+2108°-=180°-，
∴-2∠FMH=36°，
即∠FHD-2∠FMH=36°；
（3）过点F作FG∥AB，延长NK交CD于Q，设∠FHD=，

同理CD∥AB∥FG，
∴∠GFH=∠FHD=，
∴∠BEF=∠EFG=108-，
∴∠PEB=180-∠BEF =180-108+=72+，
∵，
∴∠NEB=∠PEB=(72+)，
∵NK∥FH，
∴∠NQD=∠FHD=，
∵CD∥AB，
∴∠NKB=∠NQD=，
∵∠NKB=∠NEB+∠ENK，
∴=(72+)+∠ENK，
∴=72+3∠ENK，
故∠FHD-3∠ENK=72．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
27．（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）结论①正确，
【分析】
（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标，可证四边形ABDC是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；
（2）先计算出S△MAC=2，然后分M在x轴或y轴上两种情况，根据三角形面积公式列方程求解，从而确定M的坐标；
（3）作PE∥AB，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．
【详解】
解：（1）由题意可知：C点坐标为，D点坐标为（4，2）
∴AB=4，OC=2
S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8
故答案为：（0，2）；（4，2）；8
（2）存在
，且

①当点在轴上时，令

或
此时点的坐标为
②当点在轴上时，令

或b=1
此时点的坐标为
综上，点M的坐标为
（3）结论①正确
过点作交与点
∵AB∥CD




【点拨】
本题是四边形综合题，考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，也考查了坐标与图形性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
28．（1）过点作；（2）30；（3）．
【分析】
（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；
（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】
（1）由图中虚线可知PQ//AC，
∴小明同学辅助线的做法为过点作，
故答案为：过点作
（2）如图2，过点作，
∵AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，
∴∠EPF=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，
∴∠2=30°，
故答案为：30

（3）如图，设，过点作，





∵

，即．

【点拨】
本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
29．问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见解析
【分析】
小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
30．(1) 110°，剩余解答见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
【分析】
(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【详解】
解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
故答案为：110°.
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，

∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β
故答案为：∠CPD=∠α+∠β.
【点拨】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.
31．（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由见解析．
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答；
（2）过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；
（3）根据AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；
（4）选择以上结论任意一个进行证明即可．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）过点P作直线PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
故答案为：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB．
故答案为：∠PCD=∠APC+∠PAB．

（4）选择结论∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
理由：过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
【点拨】
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键．
32．（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．
【详解】
（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝∠FEG−∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【点拨】
本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
33．（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析
【分析】
（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】
解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°

②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：
所有角的和为（n+1）•180°．

【点拨】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．
34．（1）AB∥CD，EF∥HL，理由详见解析；（2）∠P＝3∠Q．
【分析】
（1），；由同旁内角互补可得；延长 交于，由平行线的性质及已知，可得，从而可判定；
（2）；作，先由平行线的性质推得，从而；同理可得；再将已知代入计算即可得解．
【详解】
解：（1），
理由如下：
，

；
延长 交于





；
（2）
理由如下：
，作，

，
，

同理可得
，




．
【点拨】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线三线八角的基本模型是解题的关键．
35．（1）55°；（2）140°
【分析】
（1）过点B作BM∥AF，则BM∥AF∥CD，ÐA=140°，ÐC=165°，进而即可求解；
（2）延长AB，DC交于点N，由∠ABC=55°，ÐBCD=165°,得∠BNC=40°，结合AB∥DE，即可得到答案．
【详解】
（1）过点B作BM∥AF，
∵AF∥CD，
∴BM∥AF∥CD，
∴∠A+∠ABM=180°，∠C+∠CBM=180°，
∵ÐA=140°，ÐC=165°，
∴ÐB=∠ABM+∠CBM=360°-∠A-∠C=360°-140°-165°=55°．
（2）延长AB，DC交于点N，
∵∠ABC=55°，
∴∠NBC=125°，
∵ÐBCD=165°,
∴∠BNC=165°-125°=40°
若AB∥DE，则∠D=180°-40°=140°．
故答案是：140°


【点拨】
本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
36．.
【分析】
根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，，
又因为，得到，所以.
【详解】
因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，，
，
即，
，
【点拨】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
37．见解析.
【分析】
设，，
由题意得，
则，故，所以
【详解】
设，，
由靴子图知，
，
由靴子图知，
，
.
【点拨】
本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，由题意得出x与y之间的关系式.
38．56°.
【分析】
由平行线的性质可知，由三角形邻补角可得，带入题干信息即可得出答案.
【详解】
由平行线的性质可知，由三角形邻补角以及鸟嘴图DCEFBA知.
【点拨】
本题考查平行线的性质，知道同位角相等时解题的关键.
39．.
【解析】
【分析】
作，得，由题意得，又因为，得到，即.
【详解】
如图，作，易证，由笔尖图TABDS知，，又因为，所以，所以
.
【点拨】
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
40．.
【解析】
【分析】
先设，，由题意的，，题意得到；由侧M图知，.
【详解】
设，，
与的角平分线相交于点，
，，
由笔尖图知，，
即，，
由侧M图知，.
【点拨】本题考查平行线的性质和角平分线，解题的关键是设，，
并由题意得到x，y的关系式.