人教版七年级下册6.1 平方根学案

专题6.1  平方根（知识讲解）

【知识回顾】

平方的含义：平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a。代数中，一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积，平方也可视为求指数为2的幂的值。

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

知识点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

2.平方根的定义

　  如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

        （3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点三、平方根的性质

知识点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念 

1．下列说法中，正确的是（　　）

A．9的平方根是3

B．的平方根是

C．任何一个非负数的平方根都是非负数

D．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数

【答案】D

【解析】由一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，即可求得答案．

【详解】

A、9的平方根是±3，故本选项错误；

B、−25的没有平方根，故本选项错误；

C、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，故本选项错误；

D、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，故本选项正确．

故选：D．

【总结升华】此题考查了平方根的意义，属于基础题型．

举一反三：

【变式】下列运算错误的是（    ）

A．＝±2 B．＝±0.1

C．﹣＝﹣13 D．＝

【答案】A

【解析】由算术平方根的含义判断，由平方根的含义判断，由算术平方根的相反数判断，由算术平方根的含义判断，从而可得答案．

解：A、，，故A错误；

B、，故B正确；

C、，故C正确；

D、，故D正确；

故选：A．

【思路点拨】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，掌握以上知识是解题的关键．

2、 填空：

（1）是     的负平方根．

（2）表示     的算术平方根，     ．

（3）的算术平方根为     ．

（4）若，则     ，若，则     ．

【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.

【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3

【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

举一反三：

【变式1】下列说法错误的是（    ）

A．9的平方根是 B．一个数的绝对值一定是正数

C．单项式与是同类项 D．平方根是本身的数只有0

【答案】B

【分析】由平方根、绝对值、同类项的定义，分别进行判断，即可得到答案．

解：A、9的平方根是，正确；

B、一个数的绝对值一定是正数或0，故B错误；

C、单项式与是同类项，正确；

D、平方根是本身的数只有0，正确；

故选：B．

【思路点拨】本题考查了平方根、绝对值、同类项的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．

【变式2】求下列各式的值：

（1）3             （2）

（3）    （4）

【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）

3、使代数式有意义的的取值范围是______________．         

【答案】≥；

【解析】＋1≥0，解得≥.

【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

举一反三：

【变式】已知，则（x+y）2的算术平方根是_____．

【答案】1．

【分析】由非负性的应用，先求出x、y的值，然后代入计算，再计算算术平方根，即可得到答案．

解：由题意知，x﹣1＝0，y+2＝0，

解得，x＝1，y＝﹣2．

∴（x+y）2＝（1﹣2）2＝（﹣1）2＝1，

∴（x+y）2的算术平方根是1．

故答案为：1．

【思路点拨】本题考查了非负数的应用，以及算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．

类型二、利用平方根解方程

4求满足条件的x值：

（1）         （2）

【答案】（1），；（2），．

【分析】（1）方程两边同除以3，再运用直接开平方法求解即可；

（2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可．

解：（1）

解得，，；

（2）

∴

∴，．

【思路点拨】本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义．

【变式】求下列各式中的x的值：

（1）x2=25；               （2）（x-3）2=49．

【答案】(1) x=±5；(2) x= -4或x=10.

【分析】（1）根据开平方计算即可；（2）根据开平方计算即可．

解：（1）x2=5，
解得：x=±5；
（2）(x-3)²=49，
∴x-3=±7,

解得： x= -4或x=10．

【点拨】本题考查平方根的计算，关键是根据平方根的定义进行计算．

类型三、平方根的整数部分和小数部分

5．如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．

（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；

（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；

（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．

【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3）

解：（1）阴影部分面积为：，

∵阴影部分是一个正方形，

∴边长为：，

故答案为：13，．

（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．

（3）∵，

∴，

∵

∴

∴．

【点拨】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．

【变式】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．

【答案】．

【解析】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．

试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，

即的整数部分是2，

所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，

即x=4，y=-2，所以=．

考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．

类型四、平方根的应用

6、某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000 m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420 m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1 m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？

【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场．

【分析】先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.

解：设篮球场的宽为x m，则长为x m，根据题意，得

x·x=420，即x2=225，

∵x为正数，

∴x==15，

∴篮球场的长为28米，

∵ (28+2)2=900<1000，

∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．

【变式】一个长，宽之比为5∶2的长方形过道面积为10

（1）求这个长方形过道的长和宽

（2）用40块大小一样的正方形地砖刚好把这个过道铺满，求这种地砖的边长

【答案】（1）长和宽分别为5m、2m；（2）50cm

【分析】（1）根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可；（2）设边长为am，根据40块大小相同的正方形的面积等于过道的总面积列方程解出即可，注意单位．

解：（1）这个长方形过道的长为5xm，宽为2xm；
则5x•2x=10，
10x2=10，
x=±1，
∵x＞0，
∴x=1，
5x=5，2x=2，
答：这个长方形过道的长和宽分别为5m、2m；
（2）设这个正方形的地板砖的边长为am，
则40a2=10，
a2=，
a=±0.5，
∵a＞0，
∴a=0.5m=50cm，
答：这种地板砖的边长为50cm．

【点拨】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是根据面积公式列方程，本题属于基础题型．