人教版第六章 实数6.3 实数学案

专题6.6  实 数（专项练习）

一、单选题

1．在中，无理数是（    ）

A． B． C． D．

2．下列说法错误的是（    ）

A．的算术平方根是3 B．平方根是本身的数只有0

C．两个无理数的和一定是无理数 D．实数与数轴上的点一一对应

3．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值是（    ）

A．17 B．16 C．8 D．12

4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．＞0

5．如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（    ）

A． B． C． D．1

6．的相反数是（    ）

A． B． C． D．

7．下列整数中，最接近的是（    ）

A． B． C． D．

8．设为正整数，且，则的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

10．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：

f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…

g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…

利用上述规律计算：+结果为（　　）

A．1 B． C． D．0

11．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则（　　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题

12．在，，这三个实数中，分数是__________．

13．若（为整数），则______．

14．若，且，是两个连续的整数，则的值是______．

15．计算的结果是_____．

16．在实数0，，，中，最小的数是_______．

17．有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于__________．

18．已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则________．

19．规定一种新的定义：a★b＝－a2，若a＝3，b＝49，则(a★b)★b＝_________．

20．对于有理数x、y，当x≥y时，规定x※y=yx；而当x<y时，规定x※y=y-x，那么4※（-2）=_______；如果[（-1）※1]※m=36，则m的值为______．

三、解答题

21．计算：

（1）

（2）

22．（1）求的值：；

（2）计算：

23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

（1）求的值；

（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．

24．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．

（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；   

（2）迁移应用：

 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．

①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．

②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．

25．观察下列各式：，，，；…

回答下面的问题：

（1）猜想：=_________；（直接写出你的结果）

（2）根据（1）中的结论，直接写出13+23+33+．．．．．．+93+103的值是_________；

（3）计算：213+223+233+．．．．．．+293+303的值．

参考答案

1．D

【分析】

整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数，据此逐项判断解题．

【详解】

A.0是整数，是有理数，故A错误；

B. 是负整数，是有理数，故B错误；

C. 是有限小数，是有理数，故C错误；

D. 是无理数，故D正确，

故选：D．

【点拨】

本题考查无理数，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

2．C

【分析】

根据算术平方根、平方根的定义判断A，B；根据无理数的定义以及运算法则判断C；根据实数与数轴的关系判断D．

【详解】

A、 =9，9的算术平方根是3，故本选项说法正确，不符合题意；

B、平方根是本身的数只有0，故本选项说法正确，不符合题意；

C、无理数π与-π的和为0，0是有理数，故本选项说法错误，符合题意；

D、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法正确，不符合题意；

故选C．

【点拨】

此题考查算术平方根、平方根的定义，无理数的定义，有理数的大小，实数与数轴的关系，解题关键在于需熟练掌握相关定义．

3．B

【分析】

根据4＜＜5和不等式的性质求得1＜-3＜2，从而求出a、b 的值，再代入（-a）3+（b+4）2计算即可．

【详解】

∵4＜＜5，
∴1＜-3＜2，
∴a=1，b=-4，
∴（-a）3+（b+4）2=（-1）3+（-4+4）2=-1+17=16．

故选：B．

【点拨】

考查了无理数大小的估算，解题关键是得出1＜-3＜2和正确求出a，b的值．

4．B

【分析】

根据数轴上点的位置得到a小于0，b大于0，且|a|＜|b|，即可作出判断．

【详解】

解：根据题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，

∴a−b＜0,a＋b＞0，ab＜0，＜0，

故结论成立的是选项B．

故选：B．

【点拨】

此题考查了数轴，弄清题中数轴上a与b表示点的位置是解本题的关键．

5．A

【分析】

先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．

【详解】

解：点表示的数是：，

故答案选：．

【点评】

本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．

6．B

【分析】

根据相反数的定义解答即可．

【详解】

解：的相反数是．

故答案为B．

【点拨】

本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解答本题的关键．

7．C

【分析】

比较各数的平方即可得出答案．

【详解】

解：22=4，32=9，42=16，52=25，()2=19，

∵16与19最接近，

∴4与最接近，

故选C．

【点拨】

本题考查了估算无理数的大小，灵活选用比较方法是解题关键．

8．C

【分析】

首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．

【详解】

解：∵＜＜，

∴8＜＜9，

∵n＜＜n+1，

∴n=8，

故选择：C．

【点拨】

此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．

9．D

【分析】

根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．

【详解】

由f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，

f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，

f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，

∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，

故选：D．

【点拨】

本题考查了新定义问题，准确理解新定义的基本意义是解题的关键.

10．C

【分析】

根据题意知“f”表示的运算是比原数小1， “g”表示的运算是原数的相反数，由此化简原式进行实数计算即可．

【详解】

解：∵f（0）＝-1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，

∴f（2012）＝2012﹣1＝2011，f（13）＝13﹣1＝12，

∵g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3，

∴g（2012）＝﹣2012，

∴+

＝1++|﹣2|

＝1+2+2﹣

＝3+，

故选：C．

【点拨】

此题考查新定义运算，实数的混合运算，掌握计算公式的规律，正确化简原式，熟记零指数幂定义，绝对值的性质是解题的关键．

11．B

【分析】

先求出的范围，再根据范围求出即可．

【详解】

解：∵

∴

∴的整数部分为4

∴4

故选：B．

【点拨】

此题考查的是求无理数的整数部分，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．

12．

【分析】

根据分数的定义判断即可．

【详解】

解：三个实数中是分数，和是无理数．

故答案为：．

【点拨】

本题考查了实数的分类，熟练掌握分数的定义是解题的关键．

13．10

【分析】

首先确定90在哪两个整数的平方之间，从而确定的范围，从而求解．

【详解】

解：81<<100，即，

，

．

故答案为10．

【点拨】

本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

14．5

【分析】

先判断出的取值范围，确定a和b的值，即可求解．

【详解】

解：∵，

∴a=2，b=3，

∴a+b=5．

故答案为：5

【点拨】

本题考查了无理数的估算，正确估算出的取值范围是解题关键．

15．

【分析】

根据绝对值的性质化简即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点拨】

本题考查了绝对值的性质以及实数的大小比较，属于基础知识，掌握绝对值的性质是解题的关键．

16．

【分析】

将题中的数据按照从小到大排列即可解答．

【详解】

解：∵＜＜0＜

∴最小的数是．

故答案为．

【点拨】

本题考查了实数大小的比较，将数据按照从小到大排列是解答本题的关键．

17．

【分析】

把9代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．

【详解】

解：∵ =3，3是有理数，

∴继续转换，

∵ 是无理数，

∴符合题意，

故答案为： ．

【点拨】

本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．

18．

【分析】

根据题意列出算式解答即可．

【详解】

根据题意可得：

原式．

故答案为：．

【点拨】

此题考查新定义的运算，关键是理解题意并准确列出算式解答．

19．

【分析】

根据题中给到的新运算，先计算a★b然后直接代入数据计算(a★b)★b即可.

【详解】

因为a★b＝－a2，

=

所以 (a★b)★b

= =7-4=3

故答案为：3．

【点拨】

本题考查定义新运算，解题关键在于熟练掌握运算法则.

20．16    或．   

【分析】

根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；

先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可．

【详解】

解：

4※（-2）=；

（-1）※1=

[（-1）※1]※m=2※m=36

当时，原式可化为

解得：

；

当时，原式可化为：

解得：；

综上所述，m的值为：或；

故答案为：16；或．

【点拨】

本题考查了新定义的运算，读懂新定义的式子，将值正确代入是解题的关键．

21．（1）2；（2）5

【分析】

(1)先计算绝对值及开立方，再计算加减法；

(2)先计算括号中的减法及乘方，再按顺序计算乘除法．

【详解】

解：（1）

=7-2-3

=2；

（2）

=

=5．

【点拨】

此题考查实数的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．

22．（1）或；（2）4

【分析】

（1）利用开方要根的概念求出x的值即可；

（2）根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【详解】

解：（1）

或

(2)原式＝5+2﹣3

＝4．

【点拨】

本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．

23．（1）2；（2）±4

【分析】

（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；

（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．

【详解】

（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，

∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；

（2）∵与互为相反数，

∴+=0，

∴|2c＋d|＝0且＝0，

解得：c＝2，d＝−4，

∴2c−3d＝16，

∴2c−3d的平方根为±4．

【点拨】

本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．

24．（1）；（2）①见解析；②见解析，

【分析】

（1）设正方形边长为a，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，则知结果；

 （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；

②由题（1）的原理得出大正方形的边长为，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，再把N点表示出来，即可比较它们的大小．

【详解】

解：设正方形边长为a，

 ∵a2=2，

 ∴a=，

 故答案为：，；

（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：

②设拼成的大正方形的边长为b，

 ∴b2=5，

 ∴b=±，

 在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，

∴比较大小：．

【点拨】

本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．

25．（1）；（2）3025；（3）172125

【分析】

（1）根据题中所给各式可直接进行分析求解；

（2）由（1）可直接代入求值即可；

（3）根据（1）可直接进行求解．

【详解】

解：（1）根据题意可得出：=；

（2）将n=10代入，

原式；

（3）原式==172125．

【点拨】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键．