2021学年6.3 实数学案设计

专题6.5  实 数（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

【要点梳理】

 要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

         （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

   2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【典型例题】

类型一、实数概念 

1．将下列各数填入相应的集合内：

，     1.010010001，      ，       0，      ， 

 …(相邻的两个2之间的3一次增加1个)，   ．

有理数集合{                     …}

无理数集合{                     …}

【解析】有理数为整数与分数的统称，无理数为无限不循环的小数，掌握三类开方开不尽的，无限不循环的小数，与π有关的数进行排查即可．

解：有理数集合{ ，     1.010010001，    ，     0，    ，…   }

无理数集合{  ，…(相邻的两个2之间的3一次增加1个)，…}

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.

举一反三：

【变式】在下列语句中：

①无理数的相反数是无理数；

②一个数的绝对值一定是非负数；

③有理数比无理数小；

④无限小数不一定是无理数．

其中正确的是（　　）

A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④

【答案】C；

解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；

②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；

③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；

④无限循环小数是有理数，故本选项正确．

类型二、实数大小的比较

2．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即

例如：比较与2的大小；

，

，则，

，

．

请根据上述方法解答以下问题：

（1）比较大小：_______3；

（2）比较与的大小，并说明理由．

【答案】（1）＞；（2）＜．

【分析】

（1）由＜＜，可得：＜＜，从而可得答案；

（2）由＜＜，可得＜＜，从而可得：＜，即＜，从而可得答案．

【详解】

解：（1）＜＜，

＜＜，

故答案为：＞．

（2）＜＜，

＜＜，

＜，

＜，

＜，

＜．

【点拨】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

举一反三：

【变式】（1）用“<”、“>”或“=”填空：_____，_______；

（2）由以上可知：①________________；②_____________；

（3）计算：.（结果保留根号）

【答案】(1)＜,＜；（2）①；②；（3）

【分析】

（1）当被开方数越大时算数平方根越大，依此判断即可；（2）依据（1）知次数为负数，而负数的绝对值等于它的相反数即可化简；（3）依据（2）将化简的结果相加即可.

解：(1)＜,＜

（2）①；②

（3）原式=

=

【点拨】此题是考察算数平方根的大小比较，准确解得（1）是关键，为后两问做基础.

3、把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来：

3，  ﹣2.5，   |﹣2|，   0，  ，  （﹣1）2．

【分析】根据实数与数轴上的点一一对应，可把实数表示在数轴上，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．

解：

【点拨】此题考查实数比较大小，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．

类型三、实数的运算

4、计算：

（1）                   （2）

【答案与解析】

解：（1）                      （2）

=                               =

=                                            =

【点拨】本题考查了无理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

举一反三：

【变式1】计算

解：

=

=．

【变式2】计算：

解：原式．

【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为。

请解答

（1）的整数部分是______，小数部分是_______。

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值。

（3）已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值.

【答案】（1）3；﹣3； （2）4；（3）x﹣y=7﹣．

【解析】

【分析】

（1）由3＜＜4可得答案；

（2）由2＜＜3知a=﹣2，由6＜＜7知b=6，据此求解可得；

（3）由2＜＜3知5＜3+＜6，据此得出x、y的值代入计算可得．

解：（1）∵3＜＜4，

∴的整数部分是3，小数部分是﹣3；

故答案为3；﹣3．

（2）∵2＜＜3，

∴a=﹣2，

∵6＜＜7，

∴b=6，

∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．

（3）∵2＜＜3，

∴5＜3+＜6，

∴3+的整数部分为x=5，小数部分为y=3+﹣5=﹣2．

则x﹣y=5﹣（﹣2）=5﹣+2=7﹣．

【点拨】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．

．举一反三：

【变式】阅读理解

∵在，即，∴.∴的整数部分为1，小数

部分为.

  解决问题

  已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根.

【答案】平方根为

【分析】根据阅读材料的方法先确定出的范围，继而得到a、b的具体数值，然后再代入式子(-a)3+(b+4)2求值，最后再根据平方根的定义进行求解即可.

解：∵，即4<<5，∴1<-3<2，

∴-3的整数部分为1，小数部分为-4，

即a=1，b=-4，

∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，

16的平方根是±4，

即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.

【点拨】本题考查了无理数的估算，阅读题，通过阅读材料找到解决此类问题的方法是关键.