2021学年第五章 相交线与平行线综合与测试学案

这是一份2021学年第五章 相交线与平行线综合与测试学案，共24页。学案主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题5.20 《相交线与平行线》（专项练习5）
一、填空题
1．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·七年级期末）已知与互为余角，且，则 ___________．
2．（2020·静宁县阿阳实验学校七年级期末）小明到工厂进行社会实践活动，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：ABCD，∠A=40°，∠C=30°，小明马上运用已学的知识得出了∠E=____．

3．（2020·湖北荆州市·七年级期末）如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠1＝62°，则∠2的度数等于_____．

4．（2021·福州三牧中学七年级月考）已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是_____．
5．（2019·上海市北海中学七年级月考）若∠α与∠β是对顶角，且∠α+∠β=120°，则∠β=_______°．
6．（2020·四川广安市·七年级期末）如图，直线相交于点O，，且，则______．

7．（2020·四川成都市·西川中学南区七年级期中）已知角，（，）的一边互相平行，另一边互相垂直，且比的4倍少15度，则__________．
8．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则______．

9．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图直线，若的面积为20，则的面积为_______．

10．（2020·浙江七年级期末）如图，长方形的顶点，分别在直线，上，且，，则的度数为_________．

11．（2021·山西晋城市·七年级期末）直线a、b、c、d以如图所示的方式相交，且和互为余角，是的余角的补角，，则__________．

12．（2020·浙江七年级期末）如图，，则间的数量关系是_________．



13．（2020·浙江七年级期末）如图，，，有以下描述：
①线段是点A、B之间的距离；
②垂线段的长是点到直线的距离；
③图中的余角只有两个；
④若，则；
则判断正确的是___________（填写序号）．

14．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）把一个直角三角板（，）如图放置，已知∥，平分，则＝_____________

15．（2021·河南驻马店市·七年级期末）如图AB//CD，CE平分∠ACD交AB于E，∠A=128°，则∠AEC=______________．

16．（2021·全国九年级专题练习）如图，若，与，分别相交于点E，F，的平分线和的平分线交于点P，则的度数是______．



17．（2020·浙江七年级期末）如图，已知：，，平分，，则的度数是______．

18．（2021·广东茂名市·八年级期末）如图，点P、Q分别在一组平行直线、上，在两直线间取一点E使得，点F、G分别在、的角平分线上，且点F、G均在平行直线、之间，则__________．

19．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图所示，，点，，在直线上，点，在直线上，满足平分，，平分，若，那么___________．

20．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）如图，，直线分别交AB、DE于点F、G．若，则___________．







二、解答题
21．（2020·山西太原市·七年级期末）如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝105°，求∠4的度数．


22．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，，，，点，，在同一条直线上．
（1）请说明与平行．
（2）若，求的度数．

23．（2020·浙江七年级期末）如图，平分．若，求的度数．根据提示将解题过程补充完整．
解：（平角的意义），（已知），

（___________________）
（________）（两直线平行，同旁内角互补）
，

平分，
（_________）
，
（___________________）

24．（2021·四川内江市·七年级期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知，则∠AEC=∠BAE＋∠DCE成立吗?请说明理由；
（2）如图2，已知，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED 的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD=α°，∠ABC=β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．





25．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，已知平分平分．
（1）试说明：；
（2）求的度数．




26．（2021·安徽合肥市·七年级期末）如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在射线的上方，作；
（2）在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；
（3）连接，观察并猜想：与的数量关系是______，填（“＞”、“＜”或“＝”）



参考答案
1．
【分析】
根据余角的定义求解即可．
【详解】
∵与互为余角，
∴，
故答案为：．
【点拨】
本题考查余角的定义，注意角度计算中的进率是解题关键．
2．70°
【分析】
先过点E作EF∥AB，又由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠FEA与∠FEC的度数，即可求解．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠FEA=∠A=40°，∠FEC=∠C=30°，
∴∠AEC=∠FEC+∠FEA=30°+40°=70°．
故答案为：70°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等与辅助线的添加方法是解此题的关键．
3．28°
【分析】
根据平行线的性质和∠ACB＝90°，可以计算出∠2的度数．
【详解】
解：如图，

∵直尺的两边平行，∠1＝62°，
∴∠1＝∠3＝62°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣62°＝28°，
故答案为：28°．
【点拨】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．150°
【分析】
根据补角的定义可直接进行求解．
【详解】
解：这个角的补角的度数为：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点拨】
本题主要考查补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
5．60
【分析】
根据对顶角相等解答即可．
【详解】
解：∵∠α与∠β是对顶角，
∴∠α=∠β，
∵∠α+∠β=120°，
∴∠α=∠β=60°．
故答案为：60．
【点拨】
本题主要考查了对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．53°
【分析】
根据∠2=180°－∠COE－∠1，可得出答案．
【详解】
解：由题意得∠2=180°－∠COE－∠1=180°－90°－37°=53°．
故答案为：53°．
【点拨】
本题考查平角、直角的定义和几何图形中角的计算，能识别∠AOB是平角且它等于∠1、∠2和∠COE三个角之和是解题关键．
7．69°或125°
【分析】
分两种情况讨论，依据角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的4倍少15度，即可得到关于α，β的方程组，进而得出α的值．
【详解】
解：如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，

过C作CF∥AB，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF=，∠DCF=，
∴=∠BCD=，
则，
解得α=69°；
如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，

过C作CF∥AB，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF=，∠DCF=，
∴=∠BCD=，
则，
解得α=125°；
综上所述，α的度数为69°或125°．
故答案为：69°或125°．
【点拨】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，利用平行线的性质进行计算．
8．85
【分析】
先根据对顶角相等可得∠2=∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠1的度数．
【详解】
解：如图，根据对顶角相等可得，∠3=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠4+∠1=180°，
∵∠1=3∠2-20°=3∠3-20°，∠4=60°，
∴3∠3-20°+60°+∠3=180°，
∴4∠3=140°，
∴∠3=35°，
∴∠1=3×35°-20°=85°，
故答案为：85．

【点拨】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
9．20
【分析】
根据平行线之间的距离处处相等可得两个三角形的高相等，从而解答．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴△ABC和△DBC的高相等，
∵△ABC和△DBC的底为BC，的面积为20，
∴的面积为20，
故答案为：20．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，掌握平行线之间的距离处处相等是解题的关键．
10．50°
【分析】
作BF∥a，根据长方形的性质得到∠ABC=∠BCD=90°，根据平行线的性质计算．
【详解】
解：作BF∥a，
∴∠3=∠1=50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠4=40°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5=∠4=40°，
∴∠2=180°-∠5-90°=50°，
故答案为：50°．

【点拨】
本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是90°是解题的关键．
11．
【分析】
求出∠1和∠2，得出∠1+∠3=180°，推出AD∥BC，推出∠2+∠4=180°，求出即可．
【详解】
解：∵∠3是∠2的余角的补角，且∠3=132°，
∴∠2=42°，
∵∠1和∠2互余，
∴∠1=48°，
∴∠1+∠3=180°，
∴a∥b，
∴∠2+∠5=180°，
∴∠5=138°，
∴∠4=∠5=138°，

故答案为：138°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质和判定，互余互补的应用，主要考查学生的计算和推理能力．
12．∠2+∠4=∠1+∠3
【分析】
分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行线的性质可知，∠1=∠AP1C，∠CP1P2=∠P1P2D，∠DP2B=∠4，所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B=∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4=∠1+∠3．
【详解】
解：分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，
∵m∥n，
∴P1C∥P2D∥m∥n，
∴∠1=∠AP1C，∠CP1P2=∠P1P2D，∠DP2B=∠4，
∴∠1+∠P1P2D+∠DP2B=∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4=∠1+∠3．
故答案为：∠2+∠4=∠1+∠3．

【点拨】
本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等．
13．②③④
【分析】
由线段与线段的长度的区别可判断①，利用点到直线的距离是垂线段的长度可判断②，利用余角定义，找出图中与余角的角可判断③，利用余角关系可推出，再利用补角定义求出可判断④即可．
【详解】
解：线段的长度才是之间的距离，①错误；
垂线段的长是点C到直线的距离，②正确；
∵，，∴，，的余角只有和，③正确；
∵，，∴，，∴ ，∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-，故，④正确．

故答案为：②③④．
【点拨】
本题考查线段与线段的长，点到直线的距离，余角关系，补角关系，掌握线段与线段的长，点到直线的距离，余角关系，补角关系是解题关键．
14．30°
【分析】
依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BAE=60°，再根据平行线的性质得到∠AEF的度数，进而得到∠AEG的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠EAF=∠AFE，
又∵∠GFE=30°，
∴∠BAF=∠EAF=30°，即∠BAE=60°，
∴∠AEF=180°-60°=120°，
又∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=120°-90°=30°，
故答案为：30°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
15．26o
【分析】
首先根据ABCD，得到∠ACD=52°，再由CE平分∠ACD，得到∠ACE＝∠DCE＝26°，最后由两直线平行内错角相等，得到∠AEC＝26°．
【详解】
解：∵ABCD，
∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣128°＝52°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝=26°，
∴∠AEC＝∠DCE＝26°；
故答案为：26°．
【点拨】
本题考查了平行线的基本性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记并灵活运用平行线基本性质是解本题的关键．
16．90°
【分析】
由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°．
【详解】
解：∵AB∥CD
∴∠BEF+∠DFE=180°
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P
∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE
∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°
∴∠P=90°，
故答案为：90°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．
17．40°
【分析】
先根据AB∥DE，∠B=70°，CM平分∠DCB可求出∠BCM及∠BCE的度数，再根据CM⊥CN可求出∠BCN的度数，再由∠NCE=∠BCE-∠BCN即可解答．
【详解】
解：∵AB∥DE，∠B=80°，
∴∠DCB=180°-∠B=180°-80°=100°，∠BCE=∠B=80°，
∵CM平分∠DCB，
∴∠BCM=∠DCB=×100°=50°，
∵CM⊥CN，垂足为C，
∴∠BCN=90°-∠BCM=90°-50°=40°，
∴∠NCE=∠BCE-∠BCN=80°-40°=40°．
故答案为：40°．
【点拨】
此题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，属于基础题，注意细心掌握．
18．35°
【分析】
过点F作，过点G作，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求解.
【详解】
过点F作，过点G作，

∵平分，平分，
设，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴

故．
【点拨】
本题考查平行线的性质，根据题意作出平行线是解题的关键．
19．146°
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠AEC的度数，本题得以解决．
【详解】
解：∵l1∥l2，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=136°，
∴∠ABC=44°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=22°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=68°，
∵CE平分∠DCB，
∴∠ECB=34°，
∵l1∥l2，
∴∠AEC+∠ECB=180°，
∴∠AEC=146°，
故答案为：146°．
【点拨】
本题考查平行线的性质、角平分线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．70°．
【分析】
如图，作CH∥AB，证明CH∥DE，AB∥DE，利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CH∥AB，

∵AB∥CH，
∴∠B+∠BCH=180°，
∵∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，
∴∠D+∠DCH=180°，
∴CH∥DE，
∴AB∥DE，
∴∠1=∠3=110°，
∴∠2=180°-∠3=70°
故答案为70°．
【点拨】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
21．105°
【分析】
由同位角相等，两直线平行判定a∥b，然后根据两直线平行，同位角相等，对顶角相等的性质求解
【详解】
∵∠1＝70°，∠2＝70°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠5．
又∠3＝105°，
∴∠5＝105°，
∴∠4＝∠5＝105°．
【点拨】
本题考查平行线的判定和性质以及对顶角相等，理解相关性质正确推理是解题关键．
22．（1）见解析；（2）45°
【分析】
（1）先根据AD⊥BE，BC⊥BE得出AD∥BC，故可得出∠ADE=∠C，再由∠A=∠C得出∠ADE=∠A，故可得出结论；
（2）由AB∥CD表示出∠C的度数，再由直角三角形的性质可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠C．
∵∠A=∠C，
∴∠ADE=∠A，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，∠ABC=3∠E，
∴∠C=180°-3∠E ，
∴∠E=90°-（180°-3∠E），
∴∠E=45°．
【点拨】
本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出AD∥BC是解答此题的关键．
23．见解析
【分析】
根据同角的补角相等可得出∠AEM=∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC=62°可求出∠AEF=118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．
【详解】
解：∵∠CDM+∠CDN=180°（平角的意义），∠AEM+∠CDN=180°（已知），
∴∠AEM=∠CDM，
∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF+∠EFC=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EFC=62°，
∴∠AEF=118°，
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC=59°，（角平分线的定义）
∵AB∥CD，
∴∠C=∠AEC=59°．（两直线平行，内错角相等）．

【点拨】
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线，牢记各平行线的判定与性质定理是解题的关键．
24．（1）成立，理由见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，

∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，
∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，

∵AB//CD，∠FAD=60°，
∴∠FAD=∠ADC=60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=60°，
∴∠EDC=∠ADC=30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠ABE=∠ABC=20°，
由（1）的结论，得．
（3）如图3，过点作．

∵平分，平分，
，
∴，
∵，
∴，

【点拨】
本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．
25．（1）见解析；（2）360°
【分析】
（1）由PE与PF分别为角平分线，得到两对角相等，根据∠1与∠2的度数求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180°，利用同旁内角互补两直线平行即可得证；
（2）过点作，得，再根据平行线的性质可得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，
∴∠1=∠BEP=∠BEF，∠2=∠PFD=∠EFD，
∴∠BEF=70°，∠EFD=110°，即∠BEF+∠EFD=180°，
∴AB∥CD；
（2）过点作






【点拨】
此题考查了平行线的性质性质和判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）＝
【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可解答
（2）根据作一条线段等于已知线段的尺规作图即可解答
（3）结合图形易证，即可得到答案
【详解】
（1）如图所示：

作法：
①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H
②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P
③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可
（2）如图所示：

作法：
①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC
②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB
（3）根据EF=BC，DE=AB，可证，则DF=AC
【点拨】本题考查了尺规作图，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，以及作一条线段等于已知线段的尺规作图方法．