初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.2 消元---解二元一次方程组学案

8.5  消元-解二元一次方程组（2）（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法（消元思想）；

2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；

3．会对一些方程组用整体思想进行求解．

4.能对二元一次方程组结合方程的解灵活解题

【要点梳理】

要点一、加减消元法解二元一次方程组

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

要点二、选择适当的方法解二元一次方程组

    解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．

【典型例题】

类型一、用加减法解二元一次方程组

1. 解方程组

（1）                       （2）

【答案】（1） ﹔（2）

解：（1）
 

②-①，可得2x=8，

解得x=4，

把x=4代入①，解得y=-2，

∴原方程组的解是

（2）
 

①×4，可得4a+6b=4③，

③-②，可得15b=5,解得．

把代入①，解得，

∴原方程组的解是．

【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．

【变式】 解方程组：

（1）                      （2）

【答案】（1）；   （2）．

【分析】

（1）利用加减消元法求解即可；（2）原方程整理后利用加减消元法求解即可．

解：（1）

①×2得：③，

②+③得：，解得，

代入①得：，解得，

所以，该方程组的解为；

（2）原方程组整理得：，

①×5得：③，

②+③得：，解得，

代入①得：，解得，

所以，该方程组的解为．

2.解方程组

【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．

【答案与解析】

解：①×10，②×6，得

③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．

将y＝3代入③，解得x＝4．

所以原方程组的解为

【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．

【变式】 解关于的方程组可以用①②，消去未知数，也可以用①+②消去未知数，则的值分别为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可．

解：∵解关于x，y方程组可以用①×2+②，消去未知数x；也可以用①+②×5消去未知数y，

∴

解得：，
故答案为：A．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．

类型二、整体思想在加减法解二元一次方程组的应用

3．若方程组，则a+b等于（    ）

A．3 B．4 C．2 D．1

【答案】A

【分析】两个方程相加即可求出a+b的值．

解：

①+②得，4a+4b=12

∴a+b=3

故选：A．

【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练、灵活运用整体思想是解答此题的关键．

【变式】已知是二元一次方程组的解，则的值为　   　．

【思路点拨】方程组利用加减消元法和整体思想即可确定出的值．

【答案】3．

【解析】

解：把代入，得，

①+②得：

【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

类型三、解二元一次方程组的一些技巧

4. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．

解方程组

解：由①﹣②得 2x+2y＝2    即 x+y＝1③

③×16 得 16x+16y＝16    ④

②﹣④得 x＝﹣1，从而可得 y＝2

∴原方程组的解是

请你仿上面的解法解方程组

【答案】

【分析】

模仿材料可得，①﹣②得：x+y＝1③，①﹣③×2019 得：x＝﹣1，再求y．

解：①﹣②得：2x+2y＝2，即x+y＝1③

①﹣③×2019 得：x＝﹣1

把x＝﹣1代入③得：y＝2

所以原方程组的解为

【点拨】考核知识点：解二元一次方程组．掌握加减法解方程组是关键．

【变式】解方程组：

【答案】

【分析】

方程组利用加减消元法求出解即可．

解：①+②得：，即③，

②-①得：④，

③+④得：，

∴，

把代入③得：，

则方程组的解为．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．灵活运用消元法是解题的关键．

类型四、解二元一次方程组综合练习

5．甲、乙两人同时解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得．求原方程组的正确解．

【答案】原方程组的正确解是

【分析】

把代入②，把代入①，求出a和b的值，再把a和b的值代入原方程组求解即可．

【详解】

解：把代入②，把代入①，

可得，解得，

，

由②可得：

4x-10y=-2③，

①+③，得

-x=13，

x=-13，

把x=-13代入①，得

65+10y=15，

y=-5，

原方程组的正确解是．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．

【变式1】已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，解得，求．

【答案】a=，b=2，c=1

【分析】

把和代入ax+by=3，可求出a和b的值；把代入x-cy=-1，可求出c的值．

【详解】

解：把和代入ax+by=3，得

，

解得

；

把代入x-cy=-1，得

×3-2c=-1，

∴c=1．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解与组成方程组的两个二元一次方程的解得关系，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．也考查了二元一次方程组的解法．

【变式2】．已知关于，的方程组

（1）请直接写出方程的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足，求的值；

（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）把看做已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可；

（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值；

（3）方程变形后，确定出公共解即可；

【详解】

解：（1）方程，

解得：，

当时，；，；

∴方程组的正整数解为：

（2）联立得：，

解得：，

代入得：，

解得：；

（3）由题意得，方程组的解和无关，所以的系数为0，即，

代入方程得：，即，

∴其公共解为．

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的正整数解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．