初中人教版8.2 消元---解二元一次方程组学案

专题8.3  消元-解二元一次方程组（1）（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解消元的思想；

2. 会用代入法解二元一次方程组.

【要点梳理】

要点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

    通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．

要点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；

③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．

【典型例题】

类型一、用代入法解二元一次方程组

1.（2021·福建三明市·八年级期末）解方程组：．

【答案】．

解：由①得：③

把③代入②得，

解得：，

把代入③，

得，

原方程组的解是．

【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.

举一反三：

【变式1】（2020·安徽滁州市·七年级月考）解方程组：

【答案】

解：

由①得③

将③代入②，得，

6-9y-y=-4，

-10y=-10，

∴．

将代入③，得．

∴原方程组的解为

【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．

【变式2】 （2020·全国单元测试）已知，求的值．

【答案】

【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

解：由题意得，，

则

【点拨】本题考查了非负数的性质和乘方运算、代入消元法解方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键

类型二、由解确定方程组中的相关量

2. 已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．

【思路点拨】将x=-y代入第二个方程，解出y的值，再代入上面的方程可得值.

【答案与解析】

解：，

将x=-y代入②得：-y+2y =﹣1，∴y=﹣1，

∴x=1，

将x=1，y=﹣1代入①得，k=1．

【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

举一反三：

【变式1】 已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是　　．

【答案】4

解：把代入方程得：，

解得：m=1，n=﹣3，

则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．

【变式2】 若方程组的解为，试求的值.

【答案与解析】

解：将代入得，即，

解得.

【总结升华】将已知解代入原方程组得关于的方程组，再解关于方程组得的值.

类型三、代入法解二元一次方程组的拓展

3．（2020·吉林长春市·长春外国语学校七年级期末）规定：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．

（1）求方程的共轭二元一次方程是　　　　；

（2）若关于的方程组为共轭方程组，则a=　　　　，b=　　　　；

（3）若方程x+ky=b中x、y的值满足下列表格：

则这个方程的共轭二元一次方程是　　　　；

（4）解下列方程组(直接写出方程组的解即可)

的解为　　　　；的解为　　　　；的解为　　　　．

结论：若共轭方程组的解是，请直接写出与的数量关系．

【答案】（1）x+3y=5；（2）1，1；（3）－0.5x+y=－1；（4），，，m=n．

【分析】

（1）根据定义解答；

（2）由题意得1-a=2a-2，b+2=4-b，解方程即可得到答案；

（3）将x与y的对应值代入x+ky=b中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；

（4）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中x与y的关系即可得到答案.

解：（1）根据定义得方程的共轭二元一次方程是x+3y=5，

故答案为：x+3y=5；

（2）由题意得1-a=2a-2，b+2=4-b，

解得a=1，b=1，

故答案为：1，1；

（3）由题意得，

解得，

∴原方程为：x-0.5y=-1，

∴这个方程的共轭二元一次方程是－0.5x+y=－1，

故答案为：－0.5x+y=－1；

（4）解方程组，

由①得x=3-2y③，

将③代入②得，2（3-2y）+y=3，

解得y=1，

将y=1代入③得x=3-2=1，

∴原方程组的解为；

解方程组，

①-②得x-y=0，

∴x=y，

将x=y代入①得x=-2，

∴y=-2，

∴原方程组的解是；

解方程组，

由①得y=2x-4③，

将③代入②得-x+2（2x-4）=4，

解得x=4，

将x=4代入③得y=4，

∴原方程组的解是，

∴解方程组的解是中与的数量关系是m=n，

故答案为：，，，m=n.

【点拨】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键.

【变式】．（2020·乌鲁木齐市第八十七中学七年级期中）若规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3

（1）计算：；

（2）计算：；

（3）解方程组：．

【答案】（1）﹣17；（2） 5x+3y；（3）

【分析】

（1）根据所给的式子求出代数式的值即可；

（2）根据所给的式子得出关于x、y的方程即可；

（3）先根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．

 解：（1）∵＝ad﹣bc，

∴原式＝﹣2﹣15

＝﹣17；

（2）原式＝5x+3y；

（3）由题意可得，

解得．

【点拨】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．