苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案

教

学

目

标

知识与

技能目标

    掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

过程与

方法目标

经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透特殊到一般、转化等数学思想。

情感与

态度目标

通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

重 点

难 点

重点

探索一元二次方程根与系数的关系的推导、运用。

难点

正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。

学法指导

在教学中启发学生多动脑、，多思考、多练习、多探究；采用小组合作交流、个人独立思考与师生相互沟通相结合的教学方法，逐步培养学生的数学兴趣，让学生学有所得，学有所乐。

教学手段

采用ppt、电子白板等多媒体辅助教学，提高教学效果。

教学

环节

教学活动

教师活动

学生活动

设计意图

一、

挑战回忆

挑战回忆

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.解一元二次方程的方法有哪些?

3.一元二次方程的求根公式是什么？

过渡：根与方程的系数存在这样的关系，那么是否还有别的特殊关系呢？这就是我们这节课要来研究的主题。

（出示课题）

ax2+bx+c=0

(a≠0)

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

(b2- 4ac≥0)

在回忆旧知的基础很自然的引出今天的新授内容。

强调一元二次方程有根的前提是b2- 4ac≥0，为顺利转化本课的难点做铺垫。

让学生感受到数学学科有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望，也自然过渡到本节课的主题。

二、

合作探究

合作探究

填一填，算一算

猜想：你觉得一元二次方程两根的和、积与它的系数有什么样的关系？

提问：给出的这些方程有什么共同点？

总结：若方程x2+px+q=0的两根为x1、x2

则x1+x2=-p   ,x1.x2=q

提问：

x1、x2是2x2-5x-3=0的两个根，那么

x1+x2=           x1 x2 =        

这个方程和刚才给出的方程有什么不同？我们可以作一个怎样的变换，把它变成刚才方程的形式？

得出结论后请学生通过计算出方程的两根来验证结论的正确性。

若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2 ,则x1+x2=          x1 x2 =         

请大家仿照刚才的变换得出结论。

刚才的结论是我们通过几个特殊的方程得出的结论，那么是否所以的一元二次方程都有上诉的结论呢？我们还是要用数学方法进行科学的验证。

总结一元二次方程根与系数的关系：

若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2

x1+x2=    x1 x2 =

这是法国数学家韦达第一个总结出来的，所以我们把这个关系也叫做“韦达定理”。

注意定理运用的前提条件：△=b2-4ac≥0

考考你的同桌

要求：各写出一个一元二次方程，让对方说出两根之和，两根之积。都完成任务请举手，比比哪一桌快。

学生独立完成后进行口答。

同桌讨论，大胆讲出你的发现。

二次项系数都为1。

师、生合作总结

这个方程的二次项系数不为1.

我们可以在方程两边都同时除以2就可以转换成上面的形式了。

师生合作

学生动脑思考。

师生互动完成，白板投影验证过程。

让学生完整的总结关系，用文字语言来叙述定理

让学生在书本上划出定理内容，并补充写出定理运用的前提条件。

同时用半分钟时间记忆定理内容。

同桌互动。完成后选有代表性的进行评讲。

通过表格的填写，更容易让学生探究一元二次方程根与系数存在的关系，培养学生观察、发现问题的能力。

先给出二次项系数为1的一元二次方程，探究根与系数关系，再转化到一般形式的一元二次方程根与系数的关系，把知识点分散解决，更能让学生直观、深刻的发现一元二次方程根与系数的关系，从而体验知识产生形成的过程。

渗透转化的数学思想。

     通过类比上面解题过程让学生把ax2+bx+c=0转化为

 x2+px+q=0形式，从而得出结论。培养学生解决问题的解力。

通过白板展示的验证结果正确，体现数学学科的严谨性。

培养学生的抽象概括能力、语言组织能力。

渗透数学课外小知识。

这个前提条件是以后题目中经常会制造陷阱的地方，要求学生引起重视。强调：要研究两根之和、积的关系前提一定是要保证有根。

用游戏、比赛的形式更能激发学生对于新知的掌握的热情。同时检查学生出题时是否会出无解的方程。再次重申注意点。

三、

信

息

反馈，及

时

评

价

（一） 你来诊断

1．生1：设x1，x2是一元二次方程x2+5x+6=0的两个根。

   生2：x1+x2=5          (      )

2．生1：设x1，x2是一元二次方程x2-3x=1的两个根， 

生2： x1 x2=1         (       )

3．生1：设x1，x2是一元二次方程2x2-x+6=0的两个根，

生2：x1+x2=         (      )

  强调：

运用韦达定理时

1．一定要化成一般式。

2．一定要保证b2-4ac≥0

（二）尝试交流

小明在一本课外读物中读到如下一段文字：一元二次方程x2－   x    ＝0的两根分别是和 ，你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？

（三）知识内化

 1．已知关于x的方程2x2+mx+4=0的一个根是1，求它的另一个根和m的值。

2．已知x1、x2是方程2x2+4x+1=0的两个根， 分别求：

①                            

②（x1+1）(x2+1)

③                                        

④x12+x22

(四)、拓展延伸

已知关于x的方程x2－2ax+a2－2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值(   )

A.-3,1    B.1   C.-3    D.无法确定

请学生思考后用手势来回复。

师生合作完成

先让学生用自己的方法解答，然后请同学把自己的解法和大家分享。

第①、②题师生互动后老师板演，后两题由学生板演。

学生独立完成

用手势的形式回复：1.避免学生人云亦云的情况。2.改变数学的课回答的固定模式，激发学生的学习兴趣。

第3小题再次出现b2-4ac≥0的陷阱题，让学生加强重视。

此题是韦达定理的直接运用，难度并不高，但学生容易出现只关注墨迹的答案，忽略了题目让我们求的是一次项的系数，所以还要把“-”号放进去。从而培养学生细致，严谨的学习态度。

通过展示不同的解题方法，让学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，感受数学解题上的互通性。同时也认识到根与系数关系的应用价值。

拿到此时后，学生可能会去解出方程的根，但发觉解出来的根带有根号，代入所求的代数式中会很繁琐，从而产生了疑问，这正是老师想要达到的效果，只有产生了疑问，有了矛盾的激发，课堂才会更精彩。此时，老师就带领学生进行分析，引导学生联系所学知识，分析所求与已知间的联系，很自然的让学生联想到运用根与系数的关系解决这个问题。

这是给学有余力的同学的一个提升，是韦达定理的又一陷阱题，今天是第一课时，所以我用选择型的形式出现，降低难度。

通过以上练习题及时反馈学生对韦达定理知识的掌握程度，及早发现问题解决问题。

四、

学会

小结总结

提高

畅所欲言

这节课你学到了什么？在知识应用的过程中需要注意什么？

1．从所学到的内容来讲

2．从所学到的数学思想来说。

（白板出示投影）

请学生主动站起来总结。

通过小结，使学生主动地把本课的知识内容纳入自己的认知结构。

五、

布

置

作业，

推

荐

创

新

（一）独立作业

必做题：同步一课时作业

选做题：

已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β，是否存在满足=1，若存在，求m的值，若不存在，请说明原因。

预习作业：整理归纳本章内容

课后学生做在练习本上

学生课后独立完成作业，及时复习巩固所学知识，进行学习效果的自我评价。

在选题上有梯度，按照分层教学理念，使每个学生都得到最佳巩固发展。

培养学生整理、归纳、总结的能力。

六．

课

外

小

阅

读

韦达（1540－1603）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
    他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
    韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”

学生阅读

增强学生对数学历史发展的了解、储备、积累，激发学生对数学学科的热爱。。