初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆的位置关系当堂达标检测题

2.5　直线与圆的位置关系

一、选择题

1.圆的直径是8 cm,若圆心与直线的距离是4 cm,则该直线和圆的位置关系是 (　　)

A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切

2.如图4,在△ABC中,点D是△ABC的内心,连接DB,DC,过点D作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F,若BE+CF=8,则EF的长度为              (　　)

图4

A.4 B.5 C.8 D.16

3.[2020·永州] 如图5,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:

图5

①PA=PB;

②OP⊥AB;

③四边形OAPB有外接圆;

④M是△AOP外接圆的圆心.

其中正确说法的个数是 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.如图6,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于点C,D,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为              (　　)

图6

A.50° B.62° C.66° D.70°

5.如图7,D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AC于点E,以AB为直径的☉O经过点D,连接AD.有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的结论是(　　)

图7

A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④

二、填空题

6.如图8,已知☉O是△ABC的内切圆,若∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC=　　　　°. 

图8

7.[2020·泰州] 如图9,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4 cm,O为直线b上一动点,若以1 cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为　　　　　　　　. 

图9

8.如图10,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=108°,则∠COD的度数是　　　　. 

图10

9.已知☉O的半径是一元二次方程x2+6x-16=0的解,且点O到直线AB的距离是,则直线AB与☉O的位置关系是　　　　. 

10.[2020·南京玄武区二模] 如图11,▱ABCD的两边AB,BC分别切☉O于点A,C,若∠B=50°,则∠DAE=　　　　°. 

图11

11.如图12,在四边形ABCD中,AD平行于BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB为直径的☉O切CD于点E,F为弧BE上一动点,过点F的直线MN为☉O的切线,MN交BC于点M,交CD于点N,则△MCN的周长为　　　　. 

图12

三、解答题

12.如图13,已知PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.

求:(1)PA的长;

(2)∠COD的度数.

图13

13.[2020·宁夏] 如图14,在△ABC中,∠B=90°,D为AC上一点,以CD为直径的☉O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB.求证:AE是☉O的切线.

图14

14.如图15,四边形ABCD是☉O的内接四边形,对角线AC是☉O的直径,AB=2,点I是△ADC的内心,∠ADB=45°.

(1)求☉O的半径;

(2)求证:BC=BI.

图15

15.[2020·菏泽] 如图16,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与BC相交于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E.

(1)求证:DE⊥AC;

(2)若☉O的半径为5,BC=16,求DE的长.

图16

答案

1.[解析] B　∵圆的直径为8 cm,

∴圆的半径是4 cm.

又∵圆心与直线的距离是4 cm,

∴直线与圆的位置关系是相切.故选B.

2.[解析] C　∵点D是△ABC的内心,

∴BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,

∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB.

∵EF∥BC,

∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,

∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,

∴ED=BE,FD=CF,

∴EF=ED+FD=BE+CF=8.故选C.

3.[解析] C　∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,

∴PA=PB,故①正确.

∵OA=OB,PA=PB,

∴OP垂直平分AB,故②正确.

∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,

∴OA⊥PA,OB⊥PB,

∴∠OAP=∠OBP=90°,

∴点A,B在以OP为直径的圆上,

∴四边形OAPB有外接圆,故③正确.

∵只有当∠APO=30°时,OP=2OA,

此时PM=OM,M是△AOP外接圆的圆心,

∴M不一定为△AOP外接圆的圆心,故④错误.故选C.

4.[解析] D　∵PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,

∴CE=CA,DE=DB,

∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE,

∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE,∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE,

∴∠CAE=∠PCD,∠DBE=∠PDC,

即∠PAE=∠PCD,∠PBE=∠PDC.

∵∠P=40°,∴∠PCD+∠PDC=140°,

∴∠PAE+∠PBE=∠PCD+∠PDC=(∠PCD+∠PDC)=70°.

故选D.

5.[解析] D　∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,∴选项①正确.

连接OD,如图.

∵D为BC的中点,O为AB的中点,

∴DO为△ABC的中位线,

∴OD∥AC.

又∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.

又∵OD是☉O的半径,

∴DE为☉O的切线,∴选项④正确.

又∵OB=OD,

∴∠ODB=∠B.

∵∠ADB=90°,DE⊥OD,

∴∠EDA+∠ADO=90°,∠BDO+∠ADO=90°,

∴∠EDA=∠ODB,

∴∠EDA=∠B,∴选项②正确.

∵D为BC的中点,AD⊥BC,

∴AD垂直平分BC,∴AC=AB.

又∵OA=AB,

∴OA=AC,∴选项③正确.

故正确的结论为①②③④.故选D.

6.115

7.[答案] 3 cm或5 cm

[解析] ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点,

∴☉O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm.

当点O在点H的左侧,☉O与直线a相切时,如图①所示:

∴OP=PH-OH=4-1=3(cm);

当点O在点H的右侧,☉O与直线a相切时,如图②所示:

∴OP=PH+OH=4+1=5(cm).

综上,OP的长为3 cm或5 cm.

故答案为3 cm或5 cm.

8.[答案] 72°

[解析] 如图所示,连接圆心与各切点.

在Rt△DEO和Rt△DFO中,

∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL),∴∠1=∠2.

同理可得∠3=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8,

∴∠5+∠6=∠7+∠8=108°,

∴2∠2+2∠3=360°-2×108°=144°,

∴∠2+∠3=∠DOC=72°.

故答案为72°.

9.[答案] 相交

[解析] ∵x2+6x-16=0,

∴x1=-8,x2=2.

∵☉O的半径r是一元二次方程x2+6x-16=0的解,

∴r=2.

∵点O到直线AB的距离d是,

∴d<r,

∴直线AB与☉O相交.

10.[答案] 15

[解析] 连接OA,OC,如图.

∵AB,BC分别切☉O于点A,C,

∴OA⊥AB,OC⊥BC,

∴∠OAB=∠OCB=90°,

∴∠AOC=180°-∠B=180°-50°=130°,

∴∠AEC=∠AOC=65°.

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴∠D=∠B=50°.

∵∠AEC=∠DAE+∠D,

∴∠DAE=65°-50°=15°.故答案为15.

11.[答案] 9

[解析] 过点D作DH⊥BC于点H,如图.

由切线长定理可知AD=DE,NE=NF,MF=MB,CB=CE.

∵AD平行于BC,∠ABC=90°,

∴∠DAB=∠ABC=90°.

∵DH⊥BC,∴∠DHB=90°,

∴四边形ABHD为矩形,

∴BH=AD=2,DH=AB=6.

设CB=x,则CH=x-2,CD=x+2.

在Rt△DCH中,∵CH2+DH2=CD2,

∴(x-2)2+62=(x+2)2,解得x=,

∴CE=CB=,

∴△MCN的周长=CN+CM+MN

=CN+CM+NF+MF

=CN+CM+NE+MB

=CE+CB

=9.

12.解:(1)由切线长定理,得CA=CE,DE=BD,PA=PB,

∴△PCD的周长为PD+PC+CE+DE=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,

∴PA=6,

即PA的长为6.

(2)∵∠P=60°,

∴∠PCE+∠PDE=120°,

∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.

∵PA,PB,CD是☉O的切线,

∴∠OCE=∠OCA=∠ACD,∠ODE=∠ODB=∠CDB,

∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°,

∴∠COD=180-120°=60°.

13.证明:连接OE,如图所示.

∵CE平分∠ACB,

∴∠ACE=∠BCE.

∵OE=OC,∴∠ACE=∠OEC,

∴∠BCE=∠OEC,

∴OE∥BC,∴∠AEO=∠B.

又∵∠B=90°,∴∠AEO=90°,

即OE⊥AE.

又∵OE为☉O的半径,

∴AE是☉O的切线.

14.解:(1)∵AC是☉O的直径,

∴∠ADC=90°=∠ABC.

又∵∠ADB=45°,

∴∠ADB=∠BDC=45°,

∴=,∴AB=BC.

∵AB=2,∴BC=2,∴AC=2,

∴☉O的半径为.

(2)证明:如图,连接AI.

∵点I是△ADC的内心,

∴∠DAI=∠CAI.

∵∠AIB=∠DAI+∠ADI,

∠BAI=∠BAC+∠CAI,

∠BAC=∠BDC=∠ADB,

∴∠BAI=∠AIB,∴AB=BI.

又∵AB=BC,∴BC=BI.

15.解:(1)证明:如图,连接AD,OD.

∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠ADO+∠ODB=90°.

∵DE是☉O的切线,

∴OD⊥DE,

∴∠EDA+∠ADO=90°,

∴∠EDA=∠ODB.

∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,

∴∠EDA=∠OBD.

∵AC=AB,AD⊥BC,

∴∠CAD=∠BAD.

∵∠DBA+∠BAD=90°,

∴∠EAD+∠EDA=90°,

∴∠DEA=90°,∴DE⊥AC.

(2)∵∠ADB=90°,AB=AC,

∴BD=CD.

∵☉O的半径为5,BC=16,

∴AB=AC=10,CD=8,

∴AD===6.

∵S△ADC=AC·DE=AD·CD,

∴DE===.