2020-2021学年第2章 对称图形——圆2.6 正多边形与圆当堂达标检测题

这是一份2020-2021学年第2章 对称图形——圆2.6 正多边形与圆当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有以下说法:①各角相等的多边形是正多边形;②各边相等的三边形是正三边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有 ( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
2.下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.多边形B.边数为奇数的正多边形
C.正多边形D.边数为偶数的正多边形
3.[2019·湖州] 如图1,已知正五边形ABCDE内接于☉O,连接BD,则∠ABD的度数是 ( )
图1
A.60°B.70°
C.72°D.144°
4.[2019·苏州期末] 如图2,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的半径为6,则△ADE的周长是( )
图2
A.9+33B.12+63
C.18+33D.18+63
5.如图3,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
图3
A.10B.9
C.8D.7
二、填空题
6.[2020·株洲] 一个蜘蛛网如图4所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON= °.
图4
7.如图5,正方形ABCD内接于☉O,若☉O的半径是1,则正方形的边长是 .
图5
8.[2020·葫芦岛] 如图6,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF,连接FE,FC,则∠EFA的度数是 .
图6
9.如图7,AB,AC分别为☉O的内接正四边形与内接正三角形的一边,而BC恰好是同圆一个内接正n边形的一边,则n= .
图7
10.[2019·长春模拟] 如图8,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,点M和点N分别在AB和DE上,且AM=DN,则∠MON的度数为 .
图8
三、解答题
11.如图9,已知五边形ABCDE是正五边形,AD是对角线.求证:AD∥BC.
图9
12.作图与证明:如图10,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF;
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.
图10
13. 如图11,☉O的半径为4 cm,六边形ABCDEF是其内接正六边形,点P,Q分别从点A,D同时出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.
设运动时间为t s.
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形.
(2)填空:
①当t= 时,四边形PBQE为菱形;
②当t= 时,四边形PBQE为矩形.
图11
14.如图12,在☉O中,如果作两条互相垂直的直径AB,CD,那么弦AC是☉O的内接正方形的一边;如果以点A为圆心,以OA为半径画弧,与☉O相交于点E,F,那么弦AE,CE,EF分别是☉O的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边,为什么?
图12
15. 如图13,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P.
图13
(1)求图①中∠APB的度数.
(2)图②中∠APB的度数是 ,图③中∠APB的度数是 .
(3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正n边形?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.
答案
1.[解析] B ①各角和各边均相等的多边形是正多边形,错误;
②各边相等的三边形是正三边形,正确;
③各边相等的圆内接多边形是正多边形,错误;
④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形,正确.故选B.
2.[解析] D A选项,多边形无法确定是轴对称图形,无法确定是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B选项,边数为奇数的正多边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C选项,正多边形是轴对称图形,不一定是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D选项,边数为偶数的正多边形,既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意.
故选D.
3.[解析] C ∵五边形ABCDE为正五边形,
∴∠ABC=∠C=(5-2)×180°5=108°.∵CD=CB,∴∠CBD=180°-108°2=36°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.故选C.
4.[解析] D 连接OE.
∵多边形ABCDEF是正多边形,
∴∠DOE=360°6=60°,
∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°,
∠AED=90°.
∵☉O的半径为6,∴AD=2OD=12,
∴DE=12AD=12×12=6,
∴AE=AD2-DE2=63,
∴△ADE的周长为6+12+63=18+63.
故选D.
5.[解析] D ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.
如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个正五边形,∴10-3=7,即完成这一圆环还需7个正五边形.故选D.
6.[答案] 80
[解析] 根据正多边形的性质,得
∠AOB=360°÷9=40°,
∴∠MON=2∠AOB=80°.
7.[答案] 2
[解析] 如图,连接OB,OC,则OC=OB=1,∠BOC=90°,
在Rt△BOC中,BC=OB2+OC2=2,
∴正方形的边长是2.
8.[答案] 66°
[解析] ∵五边形ABCDE为正五边形,
∴∠EAB=(5-2)×180°5=108°,AE=AB.
∵△ABF是等边三角形,
∴∠FAB=60°,AB=AF,
∴∠EAF=108°-60°=48°.
∵AE=AB,AB=AF,
∴AE=AF,
∴∠AEF=∠EFA=12×(180°-48°)=66°.
9.[答案] 12
[解析] 如图,连接OA,OB,OC.
∵AB,AC分别为☉O的内接正四边形与内接正三角形的一边,
∴∠AOB=360°4=90°,∠AOC=360°3=120°,
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°,
∴n=360°30°=12.
10.[答案] 135°
[解析] 如图,连接OA,OB,OC,OD.
∵正八边形的中心角为360°÷8=45°,
∴∠OAM=∠ODN=180°-45°2=67.5°.
∵OA=OD,∠OAM=∠ODN,AM=DN,
∴△OAM≌△ODN(SAS),
∴∠AOM=∠DON,∴∠MON=∠MOB+∠BOC+∠COD+∠NOD=3∠AOB=135°.
11.证明:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠EAB=∠B=108°,AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA=36°.
∵∠BAD+∠EAD=∠EAB=108°,
∴∠BAD=72°.
∵∠BAD+∠B=72°+108°=180°,
∴AD∥BC.
12.[解析] (1)由正六边形ABCDEF的中心角为60°,可得△OAB是等边三角形,继而可得正六边形的边长等于半径,则可画出☉O的内接正六边形ABCDEF;
(2)首先连接OE,由六边形ABCDEF是正六边形,易得EF=BC,BF=CE,则可得BF=CE,证得四边形BCEF是平行四边形,然后由∠EDC=∠DEF=120°,∠DEC=30°,求得∠CEF=90°,则可证得结论.
解:(1)如图①,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交☉O于点B,F和C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF即为所求.
(2)如图,连接BF,CE,四边形BCEF是矩形.
证明:如图②,连接OE.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,
∴AB=AF=DE=DC,
∴BF=CE,∴BF=CE,
∴四边形BCEF是平行四边形.
∵∠EOD=360°6=60°,OE=OD,
∴△EOD是等边三角形,∴∠OED=∠ODE=60°,
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE=30°,
∴∠CEF=∠FED-∠DEC=90°,
∴四边形BCEF是矩形.
13.解:(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.
∵点P,Q分别从点A,D同时出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,
∴AP=DQ.
在△ABP和△DEQ中,
AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴△ABP≌△DEQ(SAS),
∴BP=EQ.
同理可证PE=QB,
∴四边形PBQE是平行四边形.
(2)①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBQE是菱形,此时t=2.
故答案为2.
②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,
∴∠BPE=120°-30°=90°,
∴此时四边形PBQE是矩形.
当t=4 s时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述,当t=0或4时,四边形PBQE是矩形.
故答案为0或4.
14.解:如图,连接OE.
∵OA=AE=OE,
∴∠AOE=60°,
∴AE是☉O的内接正六边形的一边.
∵∠AOE=60°,∠AOC=90°,
∴∠EOC=90°-60°=30°,
∴CE是☉O的内接正十二边形的一边.
如图,连接OF,易知∠AOF=60°,
∴∠EOF=60°×2=120°,
∴EF是☉O的内接正三角形的一边.
15.解:(1)∵点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,
∴BM=CN,∴∠BAM=∠CBN,
∴∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,
∴∠APB=180°-∠BPM=120°.
(2)90° 72°
(3)能推广到一般的正n边形.
问题:正n边形ABCD…内接于☉O,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P,求∠APB的度数.
结论:∠APB的度数为所在正多边形一个外角的度数,即∠APB=360°n.