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    初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试教课内容课件ppt

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    这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试教课内容课件ppt,共26页。PPT课件主要包含了三角形全等的判定,三边对应相等,“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”,两边及其夹角对应相等,两角及其夹边对应相等,知识梳理等内容,欢迎下载使用。

    两角及其中一角的对边对应相等
    斜边和一条直角边对应相等
    在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′.
    1.三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或者“SSS”).
    在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′, ∠B=∠B′, BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′.
    2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或者“SAS”).
    在△ABC和△A′B′C′中, ∠B=∠B′, BC=∠B′C′, ∠C=∠C′,∴△ABC≌△A′B′C′.
    3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或者“ASA”).
    在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠B=∠B′, BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′.
    4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或者“AAS”).
    5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) .
    在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, AC=A′C′, BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(HL).
    证明两个三角形全等的基本类型
    找两边的夹角“SAS”
    看是否是直角三角形,若是“HL”
    找两角的夹边“ASA”
    找任意一角的对边“AAS”
    找这条边的另外一个邻角“ASA”
    找这个角的另外一边“SAS”
    找这条边的对角“AAS”
    看这个角是否是直角,若是,找任意一条直角边“HL”
    找另外任意一个角“AAS”
    1.如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE.求证:△ADC≌△AEB.
    证明:∵BD=CE,∴ BD-ED=CE-ED,即BE=CD. ∵在△ADC和△AEB中,AD=AE, AC=AB, CD=BE,∴△ADC≌△AEB(SSS).
    证明:∵AB=AC,CE=BD,∴ AB-BD=AC-CE,即AD=AE. ∵在△ADC和△AEB中, AC=AB, ∠A=∠A, AD=AE,∴ △ADC≌△AEB(SAS).
    2.如图,AB=AC,CE=BD,求证:△ADC≌△AEB.
    3.如图,已知点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.
    证明:在△ADC和△AEB中, ∠A=∠A, AC=AB, ∠C=∠B, ∴△ADC≌△AEB(ASA). ∴AD=AE. 又∵AB=AC, ∴ AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
    4.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D.求证:AC=AD.
    证明:∵∠1=∠2,∴∠ABC=∠ABD. 在△ABC和△ABD中, ∠ABC=∠ABD, ∠C=∠D, AB=AB(公共边),∴△ABC≌△ABD(AAS),∴AC=AD.
    5.如图,已知在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为C , D,AD=BC.求证:AC=BD.
    证明:∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠C=∠D =90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中, AB=BA, BC=AD, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴AC=BD.
    1.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AD< (AB+AC).
    分析:考虑将2AD, AB, AC转化到同一个三角形中,利用三边关系求解
    证明:延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.在△BDE和△CDA中, BD=CD, ∠BDE=∠CDA, DE=DA, ∴△BDE≌△CDA(SAS). ∴BE=AC.在△ABE中,AE“倍长中线法”构造全等三角形解决问题 (1)含义:将三角形的中线延长一倍,构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识解决问题.(2)过程:延长已知中线到某点,使得新线段的长度等于已知中线的长度,再利用“SAS”证明两三角形全等(隐含条件是对顶角相等).
    2.如图,已知AC//BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.
    证明:方法一 (截长法)如图,在线段AB上截取AF=AC,连接EF.∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵在△ACE和△AFE中, AC=AF, ∠1=∠2, AE=AE,∴△ACE≌△AFE. ∴∠5=∠C.
    ∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°. 又∵∠5+∠6=180°, ∴∠6=∠D.∵在△EFB和△EDB中, ∠6=∠D, ∠3=∠4, BE=BE,∴△EFB≌△EDB. ∴FB=BD.∴AB=AF+FB=AC+BD,即AB=AC+BD.
    方法二(补短法)如图,延长AC至点F,使得AF=AB,连接EF.∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵在△AEF和△AEB中, AF=AB, ∠1=∠2, AE=AE, ∴△ AEF ≌△ AEB, ∴EF=EB,∠F=∠3.
    ∵∠3=∠4, ∴∠F=∠4.∵AC//BD, ∴∠FCE=∠D.∵在△CEF和△DEB中, ∠FCE=∠D, ∠F=∠4, EF=EB,∴△CEF≌△DEB, ∴CF=BD.∵AB=AF=AC+CF, ∴AB=AC+BD.
    “截长补短法”构造全等三角形解决问题(1)截长法,即在长线段上截取一段,使其等于其中一短线段,然后证明剩下的线段等于另一短线段;(2)补短法,即延长短线段,使其延长部分等于另一短线段,再证明延长后的线段等于长线段,或者延长短线段,使其等于长线段,然后证明延长的部分等于另一短线段.
    3.(1)如图,点A,E,F,C在同一条直线上,AE=CF,过点E , F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB//CD,连接BD交EF于点G,试问EG与FG相等吗?请说明理由.(2)将图(1)中的△DCE沿AC方向平移得到图(2),其余条件不变,则上述结论是否仍然成立?请说明理由.
    解:(1)EG与FG相等的. 理由如下:∵DE⊥AC,BF⊥AC. .∴∠AFB=∠CED=90°.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.∵AB//CD,∴∠A=∠C. 在△ABF和△CDE中, ∠A=∠C, AF=CE, ∠AFB=∠CED, ∴△ABF≌△CDE. ∴BF=DE.
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