浙江省丽水市2021年中考数学真题（word版 含答案）

浙江省丽水市2021年中考数学真题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．实数的倒数是（    ）

A．2 B． C． D．

2．计算：的结果是（    ）

A． B． C． D．

3．如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（    ）

A． B． C． D．

4．一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．若，两边都除以，得（    ）

A． B． C． D．

6．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（    ）

A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位

C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位

9．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学

10．如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：_____．

12．要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．

13．根据第七次全国人口普查，华东六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是__________．

14．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．

15．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．

16．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

结合他们的对话，请解答下列问题：

（1）当时，a的值是__________．

（2）当时，代数式的值是__________．

三、解答题

17．计算：．

18．解方程组：．

19．在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图信息解答下列问题：

抽取的学生视力情况统计表

（1）求所抽取的学生总人数；

（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；

（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．

20．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段，使在格点上；

（2）如图2，画出一条线段，使互相平分，均在格点上；

（3）如图3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．

21．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：

（1）直接写出工厂离目的地的路程；

（2）求s关于t的函数表达式；

（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？

22．如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

23．如图，已知抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M．

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值．

24．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．

（1）当时，

①求证：；

②连结，若，求的值；

（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．

参考答案

1．D

【分析】

直接利用倒数的定义分析得出答案．

【详解】

解：实数-2的倒数是．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了实数的性质，正确掌握倒数的定义是解题关键．

2．B

【分析】

根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．

【详解】

解：原式．

故选B．

【点睛】

此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．

3．B

【分析】

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【详解】

解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：

故选：B．

【点睛】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

4．C

【分析】

先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率．

【详解】

解：任意摸一个球，共有8种结果，任意摸出一个球是红球的有3种结果，因而从中任意摸出一个球是红球的概率是．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等可能事件的概率，关键注意所有可能的结果是可数的，并且每种结果出现的可能性相同．

5．A

【分析】

利用不等式的性质即可解决问题．

【详解】

解：，

两边都除以，得，

故选：A．

【点睛】

本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

6．D

【分析】

先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．

【详解】

解：，

，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．

7．B

【分析】

根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．

【详解】

解：∵是的直径，弦于点E，

∴

在中，，

∴

∴，故选项A错误，不符合题意；

又

∴

∴，故选项B正确，符合题意；

又

∴

∵

∴，故选项C错误，不符合题意；

∵，

∴，故选项D错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．

8．C

【分析】

直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．

【详解】

解：∵点A (−1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，

C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，

需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

9．B

【分析】

根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．

【详解】

解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，

根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，

∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，

故选：B．

【点睛】

本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．

10．D

【分析】

先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．

【详解】

解：∵，

∴=5，

由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，

∵平分，

∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，

∵∠DAE+∠B=90°，

∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△FBD，

∴即，

解得：AD=，

故选：D．

【点睛】

本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．

11．

【分析】

直接根据平方差公式进行因式分解即可.

【详解】

，

故填

【点睛】

本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.

12．如4等（答案不唯一，）

【分析】

根据二次根式的开方数是非负数求解即可．

【详解】

解：∵式子有意义，

∴x﹣3≥0，

∴x≥3，

∴x可取x≥3的任意一个数，

故答案为：如4等（答案不唯一，．

【点睛】

本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．

13．

【分析】

由图，将六省60岁及以上人口占比由小到大排列好，共有6个数，所以中位数等于中间两个数之和除以二．

【详解】

解：由图，将六省人口占比由小到大排列为：，

由中位数的定义得：人口占比的中位数为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了求解中位数，解题的关键是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类．当个数为奇数时，中位数等于最中间的数；当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以2．

14．6或7

【分析】

求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．

【详解】

解：由多边形内角和，可得

（n-2）×180°=720°，

∴n=6，

∴新的多边形为6边形，

∵过顶点剪去一个角，

∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，

故答案为6或7．

【点睛】

本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．

15．

【分析】

先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ．

【详解】

解：过点E作EQ⊥BM，则

根据图1图形EQ与CD之间的距离=

由勾股定理得：，解得：；

，解得：

∵

∴

∵EQ⊥BM，

∴

∴

∴之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ

故答案为．

【点睛】

本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．

16．或1    7   

【分析】

（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；

（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．

【详解】

解：已知，实数，同时满足①，②，

①-②得，

∴

∴或

①+②得，

（1）当时，将代入得，

解得，，

∴，

把代入得，3=3，成立；

把代入得，0=0，成立；

∴当时，a的值是1或-2

故答案为：1或-2；

（2）当时，则，即

∵

∴

∴

∴

∴

故答案为：7．

【点睛】

此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．

17．2020

【分析】

先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可；

【详解】

解：

，

．

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则．

18．

【分析】

利用代入消元法解二元一次方程组即可．

【详解】

解：，

把①代入②，得，

解得．

把代入①，得．

∴原方程组的解是．

【点睛】

本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．

19．（1）200人；（2）810人；（3）答案不唯一，见解析

【分析】

（1）根据检查结果正常的人数除以所占百分比即可求出抽查的总人数；

（2）首先求出近视程度为中度和重度的人数所占样本问题的百分比，再依据样本估计总体求解即可；

（3）可以从不同角度分析后提出建议即可．

【详解】

解：（1）（人）．

∴所抽取的学生总人数为200人．

（2）（人）．

∴该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数有810人．

（3）本题可有下面两个不同层次的回答，

A层次：没有结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传．

B层次：利用图表中的数据提出合理化建议．

如：该校学生近视程度为中度及以上占比为，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电子产品进校园及使用的管控．

【点睛】

本题考查了频率分布表及用样本估计总体的知识，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．

20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；

（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF；

（3）画出平行四边形ABPQ即可．

【详解】

解：（1）如图1，线段AC即为所作；

（2）如图2，线段EF即为所作；

（3）四边形ABPQ为所作；

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

21．（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）；（3）．

【分析】

（1）根据图象直接得出结论即可；

（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为

（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．

【详解】

解：（1）由图象，得时，，

答：工厂离目的地的路程为880千米．

（2）设，将和分别代入表达式，

得，解得，

∴s关于t的函数表达式为．

（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），

，解得（小时）．

当油箱中剩余油量为0升时，（千米），

，解得（小时）．

随t的增大而减小，

的取值范围是．

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．

22．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：；

（2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解．

【详解】

解：（1）证明：如图，连结．

与相切，．

是圆的直径，．

．

．

．

．

（2）由（1）可知，，

，

，，

是等边三角形．

,

，

．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.

23．（1）；（2）①；②1或．

【分析】

（1）直接运用待定系数法求解即可；

（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可．

【详解】

解：（1）把点的坐标分别代入，

得．解得

的值分别为．

（2）①设所在直线的函数表达式为，

把的坐标分别代入表达式，得

解得

所在直线的函数表达式为．

由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，

当时，．

∴点M的坐标是．

②设抛物线的表达式是，

轴，

点N的坐标是．

∵点P的横坐标为

∴点P的坐标是，

设交抛物线于另一点Q，

∵抛物线的对称轴是直线轴，

∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是．

（i）如图1，当点N在点M下方，即时，

，

，

由平移性质得，

∴

∴，

解得（舍去），．

（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，

即时，，

，

解得（舍去），（舍去）．

（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，

即时，

，

，

解得（舍去），．

综上所述，m的值是1或．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．

24．（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．

【分析】

（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比；

（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ．

【详解】

（1）①证明：在菱形中，

，

，

，

，

∴（ASA），

∴．

②解：如图1，连结．

由①知，，

．

在菱形中，，

∴，

设，则．

，

∴，

∴，

∴．

（2）解：在菱形中，，

，

，

同理，，

∴．

是等腰三角形有三种情况：

①如图2，当时，，

，

，

，

．

②如图3，当时，

，

，

，

∴．

③如图4，当时，

，

，

，

．

综上所述，当或2或时，是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．