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重庆市渝北区2021年中考数学强化训练试卷（三）（word版 含答案）
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这是一份重庆市渝北区2021年中考数学强化训练试卷（三）（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年渝北区中考数学强化训练试卷（三）
一、选择题（本大题12个小题）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝4a2
C．（a+1）2＝a2+1 D．（ab）2＝ab2
4．观察点阵图的规律，第4个图的小黑点的个数应该是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，投十次一定有5次正面向上
C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，采用抽样调查法
D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
9．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．65° C．60° D．70°
10．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（ ）（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．29 B．35 C．37 D．44
11．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．8
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题：（本大题6个小题）
13．2021年重庆两江新区公布第一季度经济运行情况，其中3月长安汽车以自主品牌突破500000辆的好成绩，数据500000用科学记数法表示为 ．
14．计算：（﹣2）﹣2+＝ ．
15．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下，将分别标有数字1，2，3，5的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．并规定，两次数字的和为奇数者获胜，则小明获胜的概率是 ．
16．如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，BC＝2，则阴影部分的面积是 ．
17．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是 ．
18．某超市根据消费者的喜爱，推出了A、B、C三种糖果礼盒，A礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A、B、C礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%．第二天销售时，A、B、C礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是 ．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2；
（2）（﹣x）÷．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；
（2）连接BE，试说明线段DE、EC的大小关系，给出证明．
21．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）．
A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1：
B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2：
C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示：
统计量/年级
平均数
众数
中位数
八年级
3.9
a
3.5
九年级
3.65
3
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ．
（2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由．
（3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数．
22．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
3
4
5
6
…
y
…
m
0
﹣6
﹣
n
﹣
…
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣x+2≤的解集为 ．
23．（10分）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．
24．（10分）如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m'．并规定F（m）＝，例如三位数918，∵9＝1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F（918）＝＝193．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F（s）+F（t）＝570，并规定K＝，求K的最大值为多少？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．
（3）如图2，将抛物物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．
26．（8分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．
（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；
（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；
（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．
2021年重庆八中中考数学强化训练试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一个三角形．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝4a2
C．（a+1）2＝a2+1 D．（ab）2＝ab2
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，故本选项符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项不合题意；
D、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；
故选：B．
4．观察点阵图的规律，第4个图的小黑点的个数应该是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据题意得出第n个图形中小黑点个数为（1+4n）个，据此可得．
【解答】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1＝5（个），
第2个图形中小黑点个数为1+4×2＝9（个），
第3个图形中小黑点个数为1+4×3＝13（个），
•••
第n个图形中小黑点个数为（1+4n）个，
∴第4个图形中小黑点个数为1+4×4＝17（个），
故选：C．
5．小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【解答】解：∵小华从家跑步到离家较远的新华公园，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球，
∴他离家的距离不变，
又∵再步行回家，
∴他离家越来越近，
∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B．
故选：B．
6．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由大小和尚共100人，可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，且正好分完100个馒头”，可得出方程3x+y＝100，联立两方程即可得出结论．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
7．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】连接OA、OB、OC，根据位似图形的对应点的连线都经过同一点判断即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵图②的三个顶点分别在OA、OB、OC上，
∴以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是②，
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，投十次一定有5次正面向上
C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，采用抽样调查法
D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
【分析】根据概率的意义，随机事件以及概率的计算方法逐项进行判断即可．
【解答】解：A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，不是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，说明掷一枚硬币正面向上的频率集中在0.5附近，但投十次也一定有5次正面向上，因此选项B不符合题意；
C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，由于该品牌的矿泉水的数量较多，不易进行全面调查，采用抽样调查较好，因此选项C符合题意；
D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取，这样抽取的样本不具有代表性和广泛性，因此选项D不符合题意；
故选：C．
9．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．65° C．60° D．70°
【分析】连接OD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD＝30°，再根据切线的性质得到∠CDO＝90°，然后利用互余计算∠C的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝15°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°．
故选：C．
10．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（ ）（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．29 B．35 C．37 D．44
【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，再在Rt△AME中，由锐角三角函数定义求得AE，然后由等腰直角三角形的性质得出AC的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，
∴∠BAM＝∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝∠BAM，
∴AB＝BM＝20（米），
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝20（米），
过A作AE⊥MC于E，
∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，
∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，
∵∠HAM＝45°，
∴∠CAM＝75°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
在Rt△AME中，AM＝20（米），
∵sin∠AME＝，
∴AE＝20×sin60°＝20×＝10（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10（米），
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝20（米）≈35（米），
即两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米，
故选：B．
11．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．8
【分析】观察此题先解不等式组确定x的解集，由只有3个整数解确定a的取值范围．再根据分式方程由整数解即可找出符合条件的所有整数a，求和即可．
【解答】解：不等式组；
解①得：x≥﹣2，
解②得：x＜，
∴﹣2≤x＜且x有3个整数解，
∴0＜≤1，
∴0＜a≤4，
解关于y的分式方程得y＝，
∵该分式方程有整数解，
∴当y＝1时，a＝0，
当y＝﹣1时，a＝4，
当y＝2时，a＝1，方程产生增根，故舍去．
当y＝﹣2时，a＝3，
又∴0＜a≤4，
∴符合条件的所有整数a可取3和4，
∴和为7．
故选：C．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】由正方形ABCD的面积为20，可得正方形的边长为2，则CE＝DE＝；过点D作DG⊥AE于G，DF⊥x轴于F，易证△AGD≌△CFD，可得DG＝DF．利用勾股定理可求AE，利用三角形的面积公式列出式子可求DG，D点坐标可得，利用待定系数法k值可求．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为20，
∴正方形的边长为2．
∴AD＝CD＝2．
∴CE＝ED＝．
过点D作DG⊥AE于G，DF⊥x轴于F，如图，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠ECO+∠CEO＝90°，
又∵∠AED＝∠CEO，
∴∠EAD＝∠ECO．
在△ADG和△CDF中，
．
∴△ADG≌△CDF（AAS）．
∴DG＝DF．
在Rt△AED中，AE＝．
∵AE×DG＝AD×DE，
∴DG＝2．
∴DF＝2．
∴D（2，2）．
∴K＝2×2＝4．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题）
13．2021年重庆两江新区公布第一季度经济运行情况，其中3月长安汽车以自主品牌突破500000辆的好成绩，数据500000用科学记数法表示为 5×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故答案为：5×105．
14．计算：（﹣2）﹣2+＝ ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝+4
＝+4
＝．
故答案为：．
15．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下，将分别标有数字1，2，3，5的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．并规定，两次数字的和为奇数者获胜，则小明获胜的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下，
1
2
3
5
1
2
3
4
6
2
3
4
5
7
3
4
5
6
8
5
6
7
8
10
由表可知，共有16种等可能结果，其中两次数字的和为奇数的有6种结果，
所以两次数字的和为奇数的概率为＝，即小明获胜的概率为，
故答案为：．
16．如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，BC＝2，则阴影部分的面积是 +π ．
【分析】延长AO交BC于H，如图，先判断△ABC为等边三角形，则利用等边三角形的性质得到AH⊥BC，∠BOC＝120°，∠OBC＝30°，再计算出BH＝CH＝1，OH＝，S△OBC＝，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积＝S△AOB+S△AOC+S扇形BOC进行计算．
【解答】解：延长AO交BC于H，如图，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AH⊥BC，∠BOC＝120°，∠OBC＝∠ABC＝30°
∴BH＝CH＝1，
∴OH＝BH＝，
∴S△OBC＝××2＝，
∴阴影部分的面积＝S△AOB+S△AOC+S扇形BOC
＝++
＝+π．
故答案为+π．
17．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是 1 ．
【分析】证明FA′∥EC，求出FA′，EF，根据S△A′CF＝•FA′•EF求解即可解决问题．
【解答】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADF＝∠CEF＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠FCE，
∵∠BAE＝∠ECF，AE＝EC，∠AEB＝∠CEF＝90°，
∴△AEB≌△CEF（ASA），
∴BE＝EF＝1，
由翻折可知：∠BAF＝∠BA′F，BA′＝BA，
∴∠BAA′＝∠BA′A，
∵EA＝EC，∠AEC＝90°，AC＝3，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，AE＝EC＝3，
∴AF＝AE﹣EF＝2，
∵∠BAA′＝∠BAF+∠EAC，∠BA′A＝∠A′BC+∠ACE，
∴∠BAF＝∠A′BC，
∴∠A′BC＝∠FA′B，
∴FA′∥BC，
∴S△A′CF＝•FA′•EF＝×2×1＝1．
故答案为：1．
18．某超市根据消费者的喜爱，推出了A、B、C三种糖果礼盒，A礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A、B、C礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%．第二天销售时，A、B、C礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是 22.4% ．
【分析】设甲种糖果的售价为x，然后根据题意写出各种礼包的售价和进价，列出方程，求解即可．
【解答】解：设甲种糖果的售价分别为x元，，乙种糖果的售价分别为y元，丙种糖果的售价分别为z元，
则A礼包的成本为x+2y+2z＝5x，售价为1.2×5x＝6x，
即y+z＝2x，
∴B礼包的成本为2x+y+z＝4x，售价为1.25×4x＝5x，
∴C礼包的成本为2x+2y+2z＝6x，售价为1.5×6x＝9x，
设第一天A礼包占了m，则C占了0.6﹣m，
∴，
第二天的利润为：
，
∴第二天的利润率为0.224×100%＝22.4%．
故答案为22.4%．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2；
（2）（﹣x）÷．
【分析】（1）根据多项式乘多项式、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以将分式的化简．
【解答】解：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2
＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1；
（2）（﹣x）÷
＝
＝
＝
＝﹣．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；
（2）连接BE，试说明线段DE、EC的大小关系，给出证明．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线即可．
（2）结论：EC＝ED，利用角平分线的性质定理，即可证明．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作．
（2）结论：ED＝EC．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA＝30°，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，
∵ED⊥BA，EC⊥BC，
∴ED＝EC．
21．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）．
A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1：
B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2：
C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示：
统计量/年级
平均数
众数
中位数
八年级
3.9
a
3.5
九年级
3.65
3
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a＝ 3 ，b＝ 3.5 ．
（2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由．
（3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）在众数和中位数相等的前提下，可从平均数比较得出答案；
（3）用总人数乘以样本中八、九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）八年级学生一周阅读时长出现次数最多的是3小时，共出现7次，因此众数是3小时，即a＝3，
将九年级20名学生的一周阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3.5，因此中位数是3.5，即b＝3.5，
故答案为：3，3.5；
（2）八年级的自主复习情况更好，理由如下：
八年级学生一周自主学习时长平均数3.9＞九年级学生一周自主复习时长平均数3.65；
（3）八年级学生一周自主复习时长在5h以上的学生人数为：600×＝240（人），
九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数为：800×＝240（人），
240+240＝480（人），
答：复习时长在5h及以上的总人数大约有480人．
22．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
3
4
5
6
…
y
…
m
0
﹣6
﹣
n
﹣
…
（1）m＝ ，n＝ ﹣ ；
（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： 当x＝1时，函数有最大值为2 ．
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣x+2≤的解集为 0.3≤x≤1.4或x≥4.2 ．
【分析】（1）把x＝0、5分别代入解析式即可求得；
（2）描点、连点，画出函数图象；
（3）观察函数图象，可知当x＝1时，y取最大值，最大值为2；
（4）观察函数图象即可求得．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝＝＝，把x＝5代入y＝＝＝﹣，
∴，，
故答案为，；
（2）描点、连线画出函数图象如图，
（3）由图象可知，当x＝1时，函数有最大值为2，
故答案为当x＝1时，函数有最大值为2；
（4）观察图象，不等式﹣x+2≤的解集为0.3≤x≤1.4或x≥4.2，
故答案为0.3≤x≤1.4或x≥4.2．
23．（10分）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．
【分析】（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据每件进价涨了10元，列出方程计算即可求解；
（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据6月份的销售总金额比5月份提高了，列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据题意得：
+10＝，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，
则2x＝2×300＝600．
答：4月份进了这批T恤衫600件；
（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据题意得：
（400﹣4a）×75%×m（1+a%）+400×25%×m（1+a%）＝400×m（1+a%），
解得a1＝0（舍去），x2＝20．
故a的值为20．
24．（10分）如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m'．并规定F（m）＝，例如三位数918，∵9＝1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F（918）＝＝193．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F（s）+F（t）＝570，并规定K＝，求K的最大值为多少？
【分析】（1）根据定义代入求解即可．
（2）将F（s）和F（t）看成两个未知数，K＝的最大值，可以看成是一个反比例函数．将2F（s）+F（t）＝570变成含有的式子，即可代入K替换．再设t的三位数个位数是x，则可以用含有x的代数式表示出F（t），从而解出K的最大值．
【解答】解：（1）由题意得4+6≠9，
∴946不是“尔畔数”．
∵F（936）＝＝175．
（2）∵2F（s）+F（t）＝570，
∴+1＝，
∴2K+1＝．
∴K为最大值时F（t）要最小．
设t的个位数为x，则十位数是9﹣x，
∴F（t）＝＝9x+99，
∴x＝0时，F（t）最小为99．
∴K＝．
答：946不是“尔畔数”，F（936）值为175；K的最大值为．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．
（3）如图2，将抛物物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cos30°）＝PN，即可求解；
（3）①当BC是边时，则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），即可求解；②当BC是对角线时，则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+3）（x﹣）＝ax2+2﹣9a，
故﹣9a＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）∵PN⊥AO，PM⊥AC，则∠CAB＝∠MPN，
设∠CAB＝∠MPN＝α，
在△AOC中，tan∠CAB＝＝＝，故∠CAB＝∠MPN＝30°，
在Rt△PMN中，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cos30°）＝PN，
由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为y＝x+3，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点N的坐标为（m，m+3），
则△PMN周长＝PN＝（﹣m2﹣m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣m），
当m＝﹣时，△PMN周长的最大值为，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+4，
则平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，
则该抛物线的对称轴为直线x＝2，
设点M的坐标为（2，m）、点N（s，t），
而点B、C的坐标分别为（，0）、（0，3），则BC2＝12，
①当BC是边时，
则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，
同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），
∴或，
解得，
故点N的坐标为（3，0）或（，6）或（，0）（舍去）；
②当BC是对角线时，
则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，
即，解得，
故点N的坐标为（﹣，0），
综上，点N的坐标为（3，0）或（，6）或（﹣，0）．
26．（8分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．
（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；
（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；
（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．
【分析】（1）过点A作AT⊥BC于点T，则BT＝CT，根据S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF计算即可；
（2）先利用ASA证明△ABD≌△EBH，得出AD＝EH，过点B作BR⊥AB交CF的延长线于点R，在RC上截取RK＝AD，连接BK，BF，再证明△BRK≌△BAD，△CBD≌△CBK，Rt△BRF≌Rt△BEF（HL），即可得出结论；
（3）由点M为DH的中点，当CM有最小值时，CM⊥DH，得出此时E与M重合，△CDM是等腰直角三角形，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，
∴BC＝＝＝2，∠ACB＝45°，
如图1，过点A作AT⊥BC于点T，则BT＝CT，AT＝BC＝，
∵BE＝AC＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣2，
∵EF⊥BC且EF＝EC，
∴∠ECF＝45°，CF＝CE＝×（2﹣2）＝4﹣2，
∴∠ACF＝∠ACB+∠ECF＝45°+45°＝90°，
∴S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF
＝•AC•CF﹣•CE•AT﹣•CE•EF
＝×2×（4﹣2）﹣12×（2﹣2）×﹣×（2﹣2）×（2﹣2）
＝3﹣4；
（2）如图2，∵∠DBH＝45°＝∠ABC，
∴∠ABD+∠CBD＝∠EBH+∠CBD，
∴∠ABD＝∠EBH，
在△ABD和△EBH中，
，
∴△ABD≌△EBH（ASA），
∴AD＝EH，
过点B作BR⊥AB交CF的延长线于点R，在RC上截取RK＝AD，连接BK，BF，
∴∠ABR＝90°＝∠A＝∠ACF，
∴四边形ABRC是矩形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABRC是正方形，
∴BR＝AB，∠R＝90°＝∠A，
在△BRK和△BAD中，
，
∴△BRK≌△BAD（SAS），
∴BK＝BD，RK＝AD，∠ABD＝∠RBK，
∵∠ABC＝∠RBC＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠RBC﹣∠RBK，
即∠CBD＝∠CBK，
在△CBD和△CBK中，
，
∴△CBD≌△CBK（SAS），
∴CD＝CK＝CF+FK，
∵CF＝CE，
∴CD＝FK+CE，
在Rt△BRF和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BRF≌Rt△BEF（HL），
∴FR＝FE，
∵RK＝AD＝EH，
∴FR﹣RK＝FE﹣EH，即FK＝FH，
∴CD＝FH+CE；
（3）由（2）知，△ABD≌△EBH，
∴AD＝EH，
∵点M为DH的中点，当CM有最小值时，CM⊥DH，
∴AD＝EF，
∵BD＝BH，EF⊥BC，
∴此时E与M重合，△CDM是等腰直角三角形，
∴CM＝DM＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝（﹣1）AB，
∴S△CMD＝CM2＝[（﹣1）AB]2＝AB2，
∵△ABC面积为8+4，
∴AB2＝8+4，
∴AB2＝16+8，
∴S△CMD＝AB2＝×（16+8）＝8﹣4．
2021年渝北区中考数学强化训练试卷（三）
一、选择题（本大题12个小题）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝4a2
C．（a+1）2＝a2+1 D．（ab）2＝ab2
4．观察点阵图的规律，第4个图的小黑点的个数应该是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，投十次一定有5次正面向上
C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，采用抽样调查法
D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
9．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．65° C．60° D．70°
10．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（ ）（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．29 B．35 C．37 D．44
11．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．8
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题：（本大题6个小题）
13．2021年重庆两江新区公布第一季度经济运行情况，其中3月长安汽车以自主品牌突破500000辆的好成绩，数据500000用科学记数法表示为 ．
14．计算：（﹣2）﹣2+＝ ．
15．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下，将分别标有数字1，2，3，5的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．并规定，两次数字的和为奇数者获胜，则小明获胜的概率是 ．
16．如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，BC＝2，则阴影部分的面积是 ．
17．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是 ．
18．某超市根据消费者的喜爱，推出了A、B、C三种糖果礼盒，A礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A、B、C礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%．第二天销售时，A、B、C礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是 ．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2；
（2）（﹣x）÷．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；
（2）连接BE，试说明线段DE、EC的大小关系，给出证明．
21．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）．
A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1：
B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2：
C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示：
统计量/年级
平均数
众数
中位数
八年级
3.9
a
3.5
九年级
3.65
3
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ．
（2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由．
（3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数．
22．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
3
4
5
6
…
y
…
m
0
﹣6
﹣
n
﹣
…
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣x+2≤的解集为 ．
23．（10分）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．
24．（10分）如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m'．并规定F（m）＝，例如三位数918，∵9＝1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F（918）＝＝193．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F（s）+F（t）＝570，并规定K＝，求K的最大值为多少？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．
（3）如图2，将抛物物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．
26．（8分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．
（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；
（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；
（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．
2021年重庆八中中考数学强化训练试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一个三角形．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝4a2
C．（a+1）2＝a2+1 D．（ab）2＝ab2
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，故本选项符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项不合题意；
D、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；
故选：B．
4．观察点阵图的规律，第4个图的小黑点的个数应该是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据题意得出第n个图形中小黑点个数为（1+4n）个，据此可得．
【解答】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1＝5（个），
第2个图形中小黑点个数为1+4×2＝9（个），
第3个图形中小黑点个数为1+4×3＝13（个），
•••
第n个图形中小黑点个数为（1+4n）个，
∴第4个图形中小黑点个数为1+4×4＝17（个），
故选：C．
5．小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【解答】解：∵小华从家跑步到离家较远的新华公园，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球，
∴他离家的距离不变，
又∵再步行回家，
∴他离家越来越近，
∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B．
故选：B．
6．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由大小和尚共100人，可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，且正好分完100个馒头”，可得出方程3x+y＝100，联立两方程即可得出结论．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
7．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】连接OA、OB、OC，根据位似图形的对应点的连线都经过同一点判断即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵图②的三个顶点分别在OA、OB、OC上，
∴以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是②，
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，投十次一定有5次正面向上
C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，采用抽样调查法
D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
【分析】根据概率的意义，随机事件以及概率的计算方法逐项进行判断即可．
【解答】解：A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，不是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，说明掷一枚硬币正面向上的频率集中在0.5附近，但投十次也一定有5次正面向上，因此选项B不符合题意；
C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，由于该品牌的矿泉水的数量较多，不易进行全面调查，采用抽样调查较好，因此选项C符合题意；
D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取，这样抽取的样本不具有代表性和广泛性，因此选项D不符合题意；
故选：C．
9．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．65° C．60° D．70°
【分析】连接OD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD＝30°，再根据切线的性质得到∠CDO＝90°，然后利用互余计算∠C的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝15°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°．
故选：C．
10．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（ ）（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．29 B．35 C．37 D．44
【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，再在Rt△AME中，由锐角三角函数定义求得AE，然后由等腰直角三角形的性质得出AC的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，
∴∠BAM＝∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝∠BAM，
∴AB＝BM＝20（米），
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝20（米），
过A作AE⊥MC于E，
∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，
∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，
∵∠HAM＝45°，
∴∠CAM＝75°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
在Rt△AME中，AM＝20（米），
∵sin∠AME＝，
∴AE＝20×sin60°＝20×＝10（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10（米），
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝20（米）≈35（米），
即两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米，
故选：B．
11．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．8
【分析】观察此题先解不等式组确定x的解集，由只有3个整数解确定a的取值范围．再根据分式方程由整数解即可找出符合条件的所有整数a，求和即可．
【解答】解：不等式组；
解①得：x≥﹣2，
解②得：x＜，
∴﹣2≤x＜且x有3个整数解，
∴0＜≤1，
∴0＜a≤4，
解关于y的分式方程得y＝，
∵该分式方程有整数解，
∴当y＝1时，a＝0，
当y＝﹣1时，a＝4，
当y＝2时，a＝1，方程产生增根，故舍去．
当y＝﹣2时，a＝3，
又∴0＜a≤4，
∴符合条件的所有整数a可取3和4，
∴和为7．
故选：C．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】由正方形ABCD的面积为20，可得正方形的边长为2，则CE＝DE＝；过点D作DG⊥AE于G，DF⊥x轴于F，易证△AGD≌△CFD，可得DG＝DF．利用勾股定理可求AE，利用三角形的面积公式列出式子可求DG，D点坐标可得，利用待定系数法k值可求．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为20，
∴正方形的边长为2．
∴AD＝CD＝2．
∴CE＝ED＝．
过点D作DG⊥AE于G，DF⊥x轴于F，如图，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠ECO+∠CEO＝90°，
又∵∠AED＝∠CEO，
∴∠EAD＝∠ECO．
在△ADG和△CDF中，
．
∴△ADG≌△CDF（AAS）．
∴DG＝DF．
在Rt△AED中，AE＝．
∵AE×DG＝AD×DE，
∴DG＝2．
∴DF＝2．
∴D（2，2）．
∴K＝2×2＝4．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题）
13．2021年重庆两江新区公布第一季度经济运行情况，其中3月长安汽车以自主品牌突破500000辆的好成绩，数据500000用科学记数法表示为 5×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故答案为：5×105．
14．计算：（﹣2）﹣2+＝ ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝+4
＝+4
＝．
故答案为：．
15．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下，将分别标有数字1，2，3，5的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．并规定，两次数字的和为奇数者获胜，则小明获胜的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下，
1
2
3
5
1
2
3
4
6
2
3
4
5
7
3
4
5
6
8
5
6
7
8
10
由表可知，共有16种等可能结果，其中两次数字的和为奇数的有6种结果，
所以两次数字的和为奇数的概率为＝，即小明获胜的概率为，
故答案为：．
16．如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，BC＝2，则阴影部分的面积是 +π ．
【分析】延长AO交BC于H，如图，先判断△ABC为等边三角形，则利用等边三角形的性质得到AH⊥BC，∠BOC＝120°，∠OBC＝30°，再计算出BH＝CH＝1，OH＝，S△OBC＝，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积＝S△AOB+S△AOC+S扇形BOC进行计算．
【解答】解：延长AO交BC于H，如图，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AH⊥BC，∠BOC＝120°，∠OBC＝∠ABC＝30°
∴BH＝CH＝1，
∴OH＝BH＝，
∴S△OBC＝××2＝，
∴阴影部分的面积＝S△AOB+S△AOC+S扇形BOC
＝++
＝+π．
故答案为+π．
17．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是 1 ．
【分析】证明FA′∥EC，求出FA′，EF，根据S△A′CF＝•FA′•EF求解即可解决问题．
【解答】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADF＝∠CEF＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠FCE，
∵∠BAE＝∠ECF，AE＝EC，∠AEB＝∠CEF＝90°，
∴△AEB≌△CEF（ASA），
∴BE＝EF＝1，
由翻折可知：∠BAF＝∠BA′F，BA′＝BA，
∴∠BAA′＝∠BA′A，
∵EA＝EC，∠AEC＝90°，AC＝3，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，AE＝EC＝3，
∴AF＝AE﹣EF＝2，
∵∠BAA′＝∠BAF+∠EAC，∠BA′A＝∠A′BC+∠ACE，
∴∠BAF＝∠A′BC，
∴∠A′BC＝∠FA′B，
∴FA′∥BC，
∴S△A′CF＝•FA′•EF＝×2×1＝1．
故答案为：1．
18．某超市根据消费者的喜爱，推出了A、B、C三种糖果礼盒，A礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A、B、C礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%．第二天销售时，A、B、C礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是 22.4% ．
【分析】设甲种糖果的售价为x，然后根据题意写出各种礼包的售价和进价，列出方程，求解即可．
【解答】解：设甲种糖果的售价分别为x元，，乙种糖果的售价分别为y元，丙种糖果的售价分别为z元，
则A礼包的成本为x+2y+2z＝5x，售价为1.2×5x＝6x，
即y+z＝2x，
∴B礼包的成本为2x+y+z＝4x，售价为1.25×4x＝5x，
∴C礼包的成本为2x+2y+2z＝6x，售价为1.5×6x＝9x，
设第一天A礼包占了m，则C占了0.6﹣m，
∴，
第二天的利润为：
，
∴第二天的利润率为0.224×100%＝22.4%．
故答案为22.4%．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2；
（2）（﹣x）÷．
【分析】（1）根据多项式乘多项式、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以将分式的化简．
【解答】解：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2
＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1；
（2）（﹣x）÷
＝
＝
＝
＝﹣．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；
（2）连接BE，试说明线段DE、EC的大小关系，给出证明．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线即可．
（2）结论：EC＝ED，利用角平分线的性质定理，即可证明．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作．
（2）结论：ED＝EC．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA＝30°，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，
∵ED⊥BA，EC⊥BC，
∴ED＝EC．
21．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）．
A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1：
B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2：
C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示：
统计量/年级
平均数
众数
中位数
八年级
3.9
a
3.5
九年级
3.65
3
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a＝ 3 ，b＝ 3.5 ．
（2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由．
（3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）在众数和中位数相等的前提下，可从平均数比较得出答案；
（3）用总人数乘以样本中八、九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）八年级学生一周阅读时长出现次数最多的是3小时，共出现7次，因此众数是3小时，即a＝3，
将九年级20名学生的一周阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3.5，因此中位数是3.5，即b＝3.5，
故答案为：3，3.5；
（2）八年级的自主复习情况更好，理由如下：
八年级学生一周自主学习时长平均数3.9＞九年级学生一周自主复习时长平均数3.65；
（3）八年级学生一周自主复习时长在5h以上的学生人数为：600×＝240（人），
九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数为：800×＝240（人），
240+240＝480（人），
答：复习时长在5h及以上的总人数大约有480人．
22．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
3
4
5
6
…
y
…
m
0
﹣6
﹣
n
﹣
…
（1）m＝ ，n＝ ﹣ ；
（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： 当x＝1时，函数有最大值为2 ．
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣x+2≤的解集为 0.3≤x≤1.4或x≥4.2 ．
【分析】（1）把x＝0、5分别代入解析式即可求得；
（2）描点、连点，画出函数图象；
（3）观察函数图象，可知当x＝1时，y取最大值，最大值为2；
（4）观察函数图象即可求得．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝＝＝，把x＝5代入y＝＝＝﹣，
∴，，
故答案为，；
（2）描点、连线画出函数图象如图，
（3）由图象可知，当x＝1时，函数有最大值为2，
故答案为当x＝1时，函数有最大值为2；
（4）观察图象，不等式﹣x+2≤的解集为0.3≤x≤1.4或x≥4.2，
故答案为0.3≤x≤1.4或x≥4.2．
23．（10分）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．
【分析】（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据每件进价涨了10元，列出方程计算即可求解；
（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据6月份的销售总金额比5月份提高了，列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据题意得：
+10＝，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，
则2x＝2×300＝600．
答：4月份进了这批T恤衫600件；
（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据题意得：
（400﹣4a）×75%×m（1+a%）+400×25%×m（1+a%）＝400×m（1+a%），
解得a1＝0（舍去），x2＝20．
故a的值为20．
24．（10分）如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m'．并规定F（m）＝，例如三位数918，∵9＝1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F（918）＝＝193．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F（s）+F（t）＝570，并规定K＝，求K的最大值为多少？
【分析】（1）根据定义代入求解即可．
（2）将F（s）和F（t）看成两个未知数，K＝的最大值，可以看成是一个反比例函数．将2F（s）+F（t）＝570变成含有的式子，即可代入K替换．再设t的三位数个位数是x，则可以用含有x的代数式表示出F（t），从而解出K的最大值．
【解答】解：（1）由题意得4+6≠9，
∴946不是“尔畔数”．
∵F（936）＝＝175．
（2）∵2F（s）+F（t）＝570，
∴+1＝，
∴2K+1＝．
∴K为最大值时F（t）要最小．
设t的个位数为x，则十位数是9﹣x，
∴F（t）＝＝9x+99，
∴x＝0时，F（t）最小为99．
∴K＝．
答：946不是“尔畔数”，F（936）值为175；K的最大值为．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．
（3）如图2，将抛物物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cos30°）＝PN，即可求解；
（3）①当BC是边时，则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），即可求解；②当BC是对角线时，则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+3）（x﹣）＝ax2+2﹣9a，
故﹣9a＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）∵PN⊥AO，PM⊥AC，则∠CAB＝∠MPN，
设∠CAB＝∠MPN＝α，
在△AOC中，tan∠CAB＝＝＝，故∠CAB＝∠MPN＝30°，
在Rt△PMN中，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cos30°）＝PN，
由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为y＝x+3，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点N的坐标为（m，m+3），
则△PMN周长＝PN＝（﹣m2﹣m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣m），
当m＝﹣时，△PMN周长的最大值为，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+4，
则平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，
则该抛物线的对称轴为直线x＝2，
设点M的坐标为（2，m）、点N（s，t），
而点B、C的坐标分别为（，0）、（0，3），则BC2＝12，
①当BC是边时，
则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，
同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），
∴或，
解得，
故点N的坐标为（3，0）或（，6）或（，0）（舍去）；
②当BC是对角线时，
则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，
即，解得，
故点N的坐标为（﹣，0），
综上，点N的坐标为（3，0）或（，6）或（﹣，0）．
26．（8分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．
（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；
（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；
（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．
【分析】（1）过点A作AT⊥BC于点T，则BT＝CT，根据S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF计算即可；
（2）先利用ASA证明△ABD≌△EBH，得出AD＝EH，过点B作BR⊥AB交CF的延长线于点R，在RC上截取RK＝AD，连接BK，BF，再证明△BRK≌△BAD，△CBD≌△CBK，Rt△BRF≌Rt△BEF（HL），即可得出结论；
（3）由点M为DH的中点，当CM有最小值时，CM⊥DH，得出此时E与M重合，△CDM是等腰直角三角形，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，
∴BC＝＝＝2，∠ACB＝45°，
如图1，过点A作AT⊥BC于点T，则BT＝CT，AT＝BC＝，
∵BE＝AC＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣2，
∵EF⊥BC且EF＝EC，
∴∠ECF＝45°，CF＝CE＝×（2﹣2）＝4﹣2，
∴∠ACF＝∠ACB+∠ECF＝45°+45°＝90°，
∴S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF
＝•AC•CF﹣•CE•AT﹣•CE•EF
＝×2×（4﹣2）﹣12×（2﹣2）×﹣×（2﹣2）×（2﹣2）
＝3﹣4；
（2）如图2，∵∠DBH＝45°＝∠ABC，
∴∠ABD+∠CBD＝∠EBH+∠CBD，
∴∠ABD＝∠EBH，
在△ABD和△EBH中，
，
∴△ABD≌△EBH（ASA），
∴AD＝EH，
过点B作BR⊥AB交CF的延长线于点R，在RC上截取RK＝AD，连接BK，BF，
∴∠ABR＝90°＝∠A＝∠ACF，
∴四边形ABRC是矩形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABRC是正方形，
∴BR＝AB，∠R＝90°＝∠A，
在△BRK和△BAD中，
，
∴△BRK≌△BAD（SAS），
∴BK＝BD，RK＝AD，∠ABD＝∠RBK，
∵∠ABC＝∠RBC＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠RBC﹣∠RBK，
即∠CBD＝∠CBK，
在△CBD和△CBK中，
，
∴△CBD≌△CBK（SAS），
∴CD＝CK＝CF+FK，
∵CF＝CE，
∴CD＝FK+CE，
在Rt△BRF和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BRF≌Rt△BEF（HL），
∴FR＝FE，
∵RK＝AD＝EH，
∴FR﹣RK＝FE﹣EH，即FK＝FH，
∴CD＝FH+CE；
（3）由（2）知，△ABD≌△EBH，
∴AD＝EH，
∵点M为DH的中点，当CM有最小值时，CM⊥DH，
∴AD＝EF，
∵BD＝BH，EF⊥BC，
∴此时E与M重合，△CDM是等腰直角三角形，
∴CM＝DM＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝（﹣1）AB，
∴S△CMD＝CM2＝[（﹣1）AB]2＝AB2，
∵△ABC面积为8+4，
∴AB2＝8+4，
∴AB2＝16+8，
∴S△CMD＝AB2＝×（16+8）＝8﹣4．
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