第十二章 12.5立体几何问题-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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进门测
1．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(4,3) B．2 C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
2．正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．垂直相交 D．不确定
3．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 求空间几何体的表面积与体积
例1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq \f(5,4)，OD′＝2eq \r(2)，求五棱锥D′ABCFE的体积．
正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(6)，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
题型二 空间点、线、面的位置关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
题型三 空间角的计算
例3 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝4，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．
(1)求证：CD⊥BE；
(2)求线段BH的长度；
(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值．
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝eq \r(6)，CD＝2AB＝2eq \r(2)，∠PAD＝120°.
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
第3课时
阶段重难点梳理
1．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G.
(1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D；
(2)证明：GH∥平面ACD1.
2．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB＝BC＝AD＝DF＝2CE＝2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD.
(1)证明：AC∥平面BEF；
(2)求三棱锥D－BEF的体积．
3．如图，在多面体EF－ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE＝∠ABC＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD.
(1)求证：DF⊥平面ABCD；
(2)若BC＝CD＝CE＝eq \f(1,2)AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．
4．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
5．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC＝2AD＝2AB＝2.
(1)证明：BD⊥平面DEC；
(2)若二面角A－ED－B的大小为30°，求EC的长度．