第十章 10.3二项式定理-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项．( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( )
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1 (1)(2x＋eq \r(x))5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
(2)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.
(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 016,22 016)的结果是多少？
题型三 二项式定理的应用
例4 (1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)
(1)1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq \\al(k,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
第3课时
阶段重难点梳理
1．二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(n,n)＝1.
Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n).
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
(3)n是偶数时，项的二项式系数最大；n是奇数时，与T项的二项式系数相等且最大．
(4)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
重点题型训练
典例 (1)若(eq \r(x)－eq \f(3,x))n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为________．
(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.
1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．Ceq \\al(m,n) B．Ceq \\al(m＋1,n)
C．Ceq \\al(m－1,n) D．(－1)m－1Ceq \\al(m－1,n)
2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
3．使(3x＋eq \f(1,x\r(x)))n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．在(eq \f(x,2)－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．
作业布置
1．在x2(1＋x)6的展开式中，含x4项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(a,\r(x))))5的展开式中含的项的系数为30，则a等于( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C．6 D．－6
3．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29 B．210 C．211 D．212
5．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为( )
A．－4 B.eq \f(5,2) C．4 D.eq \f(7,2)
6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于( )
A.eq \f(3,4)(3n－1) B.eq \f(3,4)(3n－2)
C.eq \f(3,2)(3n－2) D.eq \f(3,2)(3n－1)
7．若(x＋a)2(eq \f(1,x)－1)5的展开式中常数项为－1，则a的值为( )
A．1 B．9
C．－1或－9 D．1或9
8．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)
9．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
10．在(2－x)6的展开式中，含x3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答)
11．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
13．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
*14.若(eq \r(x)＋)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项．
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})