第四章 4.1三角函数概念-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同．( × )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )
(5)若α∈(0，eq \f(π,2))，则tan α>α>sin α.( √ )
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cs α>1.( √ )
作业检查
阶段知识点梳理
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
三个三角函数的初步性质如下表：
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
第2课时
阶段训练
题型一 角及其表示
例1 (1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
答案 (1)A (2)(2kπ＋eq \f(π,4)，2kπ＋eq \f(5,6)π)(k∈Z)
解析 (1)当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．
所以α为第一或第三象限角．故选A.
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，
∴所求角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π)) (k∈Z)．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
(1)终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合是__________________．
(2)(2016·台州模拟)若角θ的终边与eq \f(6π,7)角的终边相同，则在[0,2π]内终边与eq \f(θ,3)角的终边相同的角的个数为________．
答案 (1){α|α＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z} (2)3
解析 (1)在(0，π)内终边在直线y＝eq \r(3)x上的角为eq \f(π,3)，
∴终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为
{α|α＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z}．
(2)∵θ＝eq \f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，
∴eq \f(θ,3)＝eq \f(2π,7)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)，
依题意0≤eq \f(2π,7)＋eq \f(2kπ,3)≤2π，k∈Z，∴－eq \f(3,7)≤k≤eq \f(18,7)，
∴k＝0,1,2，即在[0,2π]内与eq \f(θ,3)角的终边相同的角为eq \f(2π,7)，eq \f(20π,21)，eq \f(34π,21)共三个．
题型二 弧度制
例2 (1)(2016·舟山模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
答案 eq \r(2)
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为eq \r(2)r，∴圆心角的弧度数是eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).
(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
解 ①S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×eq \f(5,9)π×4＝eq \f(10,9)π.
②由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝eq \f(l,r)＝2(rad)．
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,3) D．－eq \f(π,6)
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C．3 D.eq \r(3)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的eq \f(1,6).
即为－eq \f(1,6)×2π＝－eq \f(π,3).
(2)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq \f(2π,3)，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq \f(π,3)，
∴AM＝eq \f(\r(3),2)r，AB＝eq \r(3)r，
∴l＝eq \r(3)r，
由弧长公式得α＝eq \f(l,r)＝eq \f(\r(3)r,r)＝eq \r(3).
题型三 三角函数的概念
命题点1 三角函数定义的应用
例3 (1)(2016·杭州模拟)若角θ的终边经过点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)且sin θ＝eq \f(\r(2),4)m，则cs θ的值为________．
(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
答案 (1)－eq \f(\r(6),4) (2)A
解析 (1)由题意知r＝eq \r(3＋m2)，
∴sin θ＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2),4)m，
∵m≠0，∴m＝±eq \r(5)，∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
∴cs θ＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4).
(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足
x＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2).
∴Q点的坐标为(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))．
命题点2 三角函数线
例4 函数y＝lg(2sin x－1)＋eq \r(1－2cs x)的定义域为__________________．
答案 [2kπ＋eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(5π,6))(k∈Z)
解析 要使原函数有意义，必须有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2sin x－1>0，,1－2cs x≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>\f(1,2)，,cs x≤\f(1,2)，))如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(5π,6)) (k∈Z)．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．
(1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
(2)满足cs α≤－eq \f(1,2)的角α的集合为________．
答案 (1)A (2){α|2kπ＋eq \f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq \f(4,3)π，k∈Z}
解析 (1)∵cs α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2>0，)) ∴－2