初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试学案设计

1  (1)一个正方形和两个等边三角形的位置如图6-1所示，若∠3 = 50，则∠1+∠2 =______；

2  如图6-2，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

(1)线段BD与线段CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由；

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形？并说明理由．

3  如图6-3，在△ABC中，∠ABC=90，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为______　．

4  如图6-5，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，−3），则D点的坐标是        .

5  如图6-7，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为____________．

6  如图6-15，在等边三角形ABC中，BC=6cm.射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．

(1)连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

(2)填空：

①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为_________s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是直角梯形．

7  如图6-16，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4．

(1)试说明的值是一个常数．

(2)过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

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课后练习

一、选择题

1.（2009年吉林长春）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（    ）

A．  B．  C．  D．

2．（2009年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（    ）

A．  B．  C．  D．

3.（2009年湖南长沙）如图，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是（    ）

A．2  B．4  C．   D．

4．（2009年湖北孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（     ） 

A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对                            

5．（2009年黑龙江齐齐哈尔市）梯形中，，，，，，则的长为（  ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2009年山西）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（    ）

A．      B．         C．      D．

二、填空题

1.（2009年广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是          cm2．

2.（2009年青海）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是      （只填一个你认为正确的即可）．

[来源:学科网ZXXK]

3.（2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是        ．

4.（2009年山东烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是        ．

5．（2009年山东日照）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件：              ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD.  

三、解答题

1.（2009年浙江嘉兴）如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若，求证：四边形ABCD是菱形．

2. (2009年安顺安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

（1） 求证：BD=CD；

（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

3.（2009年湖南益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

 (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.[来源:学科网]

4.（2009年吉林长春）如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．

[来源:学ZXX5.（2009年广西南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为米．

（1）用含的式子表示横向甬道的面积；

（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

6.（2009年福建龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN．

①求证：；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；

（2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．