北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定学案

4正方形

学习要求

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2．掌握正方形的性质及判定方法．

一、正方形的定义及性质

1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相_____________，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．

例1：如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，求PQ的长。

练习1：如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．

例2：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求∠MFD的度数．

练习2：如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数。

例3：如图，在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于点E，GF⊥AC于点F，交AB延长线于点G．

求证：AB+BE=AC。

练习3：已知，在正方形ABCD中，点G是BC上的任意一点，DE ⊥AG于点E，BF//DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF。

例4：如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为________．

二、正方形的判定：

1．正方形的判定一：____________________________________的平行四边形是正方形；

2．正方形的判定二：____________________________________的矩形是正方形；

3．正方形的判定三：____________________________________的菱形是正方形；

4．正方形的判定四：对角线________________________________的四边形是正方形．

三、课堂练习

1．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．

2．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．

3．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______．

4．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

5．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．

6．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．