北师大版3 正方形的性质与判定导学案及答案

 章节 正方形的性质和判定  

一．知识回顾

（1）矩形定义                       （2）菱形定义                     

性质                                性质                     

二：新课引入

探究1：

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

其定义包括了两层意：

探究2：正方形性质：

正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有      的性质，同时又具有      的性质．

边：对边      ，四边      ；

角：四个角都是      ；

线：对角线相等，互相          ，每条对角线平分一组      ．

形：是    对称

　探究3：正方形判定：

（1）有一组邻边相等的      是正方形

（2）有一个角是直角的      是正方形

例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

　　已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

　　求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

练习1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

　　求证：OE = OF．

例2点E,F,M,N分别是正方形ABCD四边上的点，且AE=BF=CM=DN,

求证：四边形EFMN是正方形．

证明：

练习2：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

　　求证：四边形PQMN是正方形．

随堂训练1．正方形的四条边____  __，四个角___  ____，两条对角线____   ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线互相垂直的矩形是正方形；（   ）

②对角线相等的菱形是正方形；（   ）

③对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；（   ）

④对角线垂直平分且相等的四边形是正方形；（   ）

⑤四条边都相等的四边形是正方形；（   ）

四个角相等的四边形是正方形．（   ）

3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

则∠EAD=       ，∠ECD=         ．

【课后巩固】

1．如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则           （用含有的代数式表示）．

2．如图，等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边，则∠AED=______.

3．如图，由火柴棒拼成的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：（1）第4个图形中火柴棒的根数是_________；（2）第n个图形中火柴棒的根数是_________．

4．如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP′重合，若PB=3，则 PP′=________________

    4图           5图             6图                7图

5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是         ．

6．如右图，已知正方形ABCD的边长为cm，E为DC边上一点，∠EBC=30°，则BE的长为____________．

7．如图，在正方形中，．若，求的长．

8．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

9．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

10、已知，在正方形ABCD中，点G是BC上的任意一点，DE ⊥AG于点E，BF ∥ DE，且交AG于点F，求证：AF—BF=EF

11．（快班做）已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．