第九章 9.10圆锥曲线的综合问题-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　×　)
(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　×　)
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　√　)
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(　√　)
(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　×　)
(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(　√　)

作业检查


无
第2课时


阶段训练


题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．
答案　(1)D　(2)x＋2y－8＝0
解析　(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.
(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
命题点2　由中点弦解决对称问题
例4　已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
y＝－x＋b.由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－②
由①②得m＜－或m＞.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·.
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．
　已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
答案　0或－8
解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，
∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，∴P，
代入抛物线方程得m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合.

第3课时


阶段重难点梳理




1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δb>0)表示的曲线大致是(　　)


答案　D
解析　将方程a2x2＋b2y2＝1变形为＋＝1，
∵a>b>0，∴b>0，∴－，∴e＝ >2，
即e∈(2，＋∞)，故选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于(　　)
A．5 B．6 C．3 D．7
答案　D
解析　把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，
由消去y，得x2－5x＋4＝0，
则xA＋xB＝5.由抛物线定义得
|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　C
解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
4．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．0
答案　A
解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，
所以它与双曲线只有1个交点，故选A.
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D.
答案　D
解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，
由方程组消去y，
得x2－x＋1＝0有唯一解，
所以Δ＝()2－4＝0，＝2，
e＝＝＝ ＝ .
6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
答案　D
解析　抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.
设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，
则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.
∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.
∴A，B到直线x＝－2的距离之和为x1＋x2＋2＋2≥6>5.
∴满足题意的直线不存在．
7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
答案　6
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，
又|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.
8．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
答案　3x＋4y－13＝0
解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由于A，B两点均在椭圆上，
故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
9．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C的方程为________．
答案　＋＝1
解析　因为△AF1F2为等腰直角三角形，
所以b＝c，a＝c，
设|BF2|＝x，则由椭圆的定义可知|BF1|＝2c－x，
在△BF1F2中，由余弦定理可知(2c－x)2＝x2＋4c2－2x·2c·cos，
解得x＝，
所以＝＋＝×2c×c＋×2c×c×sin＝6，
解得c2＝，所以b2＝，a2＝9，
则椭圆的方程为＋＝1.
10．已知双曲线C：x2－＝1，直线y＝－2x＋m与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为________．
答案　(1,7＋4)
解析　由可得x2－4mx＋m2＋3＝0，
由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，
设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，则得m>1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11得，的取值范围为(1,7＋4)．
11．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
解　(1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋)2＝6，
圆心C(2，－)，半径r＝.
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则⇒
∴所求的椭圆方程是＋＝1.
(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F1(－2,0)，
F2(2,0)，|F2C|＝＝0.
∴y1＋y2＝－，y1y2＝. ②
∴|AB|＝
＝
＝.
将①②代入上式得
|AB|＝
＝，|m|≥1，
∴S△AOB＝|AB|·1
＝×
＝≤＝1，
当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立．
∴(S△AOB)max＝1.