第四章 4.2三角函数基本关系及诱导公式-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(　√　)        1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.2．各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－α－α＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称 3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α  口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限     题型一　同角三角函数关系式的应用例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)A．－   B.C．－   D.(2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.答案　(1)B　(2)1解析　(1)∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.(2)(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋)·cos2α＝·cos2α＝1.思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)A．－1   B．－C.   D．1答案　A解析　由消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即(cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan＝－1.题型二　诱导公式的应用例2　(1)(2016·杭州模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝________.(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)A．{1，－1,2，－2}   B．{－1,1}C．{2，－2}   D．{1，－1,0,2，－2}答案　(1)－1　(2)C解析　(1)f(x)＝＝－tan2x，f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.∴A的值构成的集合是{2，－2}．思维升华　(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.　(1)化简：＝________.(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．答案　(1)－1　(2)－解析　(1)原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.(2)原式＝＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－.题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3　(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝.(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.①求sin x－cos x的值；②求的值．解　①由已知，得sin x＋cos x＝，sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由－π<x<0，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，∴cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.②＝＝＝＝－.引申探究本题(2)中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．解　若0<x<π，又2sin xcos x＝－，∴sin x>0，cos x<0，∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．　已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)A.   B．－C.   D．－答案　D解析　由已知sin＝，得cos α＝，∵α∈，∴sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.  7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝________.(2)(2016·湛江模拟)已知k∈Z，化简：＝________.思想方法指导　(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．解析　(1)∵sin α＝＞0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.①当α是第一象限角时，cos α＝＝，原式＝＝.②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，原式＝＝－.综上①②知，原式＝或－.(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.答案　(1)或－　(2)－1      1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.  1．(2016·宁波模拟)已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于(　　)A.   B.C．－   D．－答案　B解析　∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝ ＝，由tan α＝，得tan α＝.2．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，则sin(α＋)等于(　　)A.   B．－C.   D．－答案　B解析　由tan(α－π)＝，得tan α＝，∴α∈(π，)，由及α∈(π，)，得cos α＝－，而sin(α＋)＝cos α＝－.3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)A．3   B．－3C．1   D．－1答案　B解析　由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.4．若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α的值等于(　　)A．－   B．－C.或－   D.答案　A解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.5．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)A．－1   B．1C．3   D．－3答案　D解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β＝－3. *6.(2016·揭阳模拟)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)A．1＋   B．1－C．1±   D．－1－答案　B解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.7．已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝_____________________________.答案　－解析　因为α为钝角，所以cos(＋α)＝－，所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.8．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________.答案　－解析　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.9．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝________.答案　2解析　由题意可得tan θ＝2，原式＝＝＝2.10．(2016·宁波模拟)已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.答案　0解析　原式＝cos α ＋sin α ＝cos α＋sin α，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.11．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin 2α.解　由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.12．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.(1)求sin Acos A的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值．解　(1)∵(sin A＋cos A)2＝，∴1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－.(2)∵sin Acos A<0，又0<A<π，∴cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．(3)(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝.又sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝，∴sin A＝，cos A＝－，故tan A＝－. *13.已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f()＋f()的值．解　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f()＋f()＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2(－)＝sin2＋cos2＝1.         1．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　D解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，∴tan α＝＝－，故选D.2．(2016·临安中学模拟)计算：sin π＋cos π等于(　　)A．－1   B．1C．0   D.－答案　A解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－，cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－，∴sin π＋cos π＝－1.3．(2016·绍兴柯桥区二模)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)A．－   B．－C.   D.答案　A解析　由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝，又α∈(0，π)，sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝，∴sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－.4．已知函数f(x)＝则f(f(2 018))＝________.答案　－1解析　∵f(f(2 018))＝f(2 018－18)＝f(2 000)，∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1.