第五章 5.1平面向量概念-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　)
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)

作业检查



无
第2课时


阶段训练



题型一　平面向量的概念
例1　给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　　)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
答案　A
解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则∥且||＝||，∴＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
思维升华　向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
　设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
题型二　平面向量的线性运算
命题点1　向量的线性运算
例2　(1)在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)
A.＝ B.＋＝
C.－＝ D.＋＝
(2)设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)＝，＋＝，
＋＝正确．
而－＝，故C错误．故选C.
(2)∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.
命题点2　根据向量线性运算求参数
例3　(1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)　(2)D
解析　(1)＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
(2)设＝y，
∵＝＋
＝＋y＝＋y(－)
＝－y＋(1＋y).
∵＝3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，
∴y∈，
∵＝x＋(1－x)，
∴x＝－y，∴x∈.
思维升华　平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

　如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵＝，＝，
∴＝，＝2.
由向量加法的平行四边形法则可知，
＝＋，
∴＝λ＝λ(＋)
＝λ
＝λ＋2λ，
由E，F，K三点共线，可得λ＝，
故选A.
题型三　共线定理的应用
例4　设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，
∴，共线．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)解　假设ka＋b与a＋kb共线，
则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.
思维升华　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．
　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
(2)如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．

答案　(1)B　(2)2
解析　(1)∵＝＋
＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，
∴，共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选B.
(2)取AC的中点D，连接OD，
则＋＝2，
∴＝－，
∴O是AC边上的中线BD的中点，
∴S△ABC＝2S△OAC，
∴△ABC与△AOC面积之比为2.
第3课时


阶段重难点梳理




1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0

2.向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：a＋b＝b＋a;
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ