第九章 9.6双曲线-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

【知识拓展】

巧设双曲线方程

(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．

题型一 基础

【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)

【例2】1、若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A.   B．5

C.   D．2

2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)

A.  B．2  C．4  D．8

3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)

A．x2－＝1   B.－y2＝1

C.－x2＝1   D．y2－＝1

4．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

题型二　双曲线的定义及标准方程

命题点1　利用定义求轨迹方程

【例3】　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

命题点2　利用待定系数法求双曲线方程

【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．

命题点3　利用定义解决焦点三角形问题

【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.

【变式练习】

1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)

A.＋4   B.－4

C.－2   D.＋2

(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D．3

题型三　双曲线的几何性质

【例6】(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)

A．m＞n且e1e2＞1   B．m＞n且e1e2＜1

C．m＜n且e1e2＞1   D．m＜n且e1e2＜1

(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.

【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D．2

题型四　直线与双曲线的综合问题

【例7】已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

思维升华　(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．

【同步练习】1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A.   B.

C．2   D．3

2、已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

2．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)   B．(－1，)

C．(0,3)   D．(0，)

3．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为(　　)

A．16  B．20  C．21  D．26

4．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(　　)

A.－1   B.

C.   D.＋1

5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点．若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)

A.   B．1

C．2   D．4

6．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)

A.  B．1  C.  D．2

7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

8．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(1,2)

C．(1,1＋)   D．(2,1＋)

9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.

10．已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．

11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．

12．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．

13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．